Определённый интеграл и его свойства

ftoe.ru

Электротехника

Конспекты по ТОЭ

Расчеты цепей

Основы электротехники

Электрическая цепь

Цепи синусоидального тока

Баланс мощностей

Переходные процессы

Цепи переменного тока

Цепи постоянного тока

Электромагнитная индукция

Сборник заданий по ТОЭ

Лабораторные работы

Постоянный и переменный ток

Расчет электрических цепей

Физика

Электронный конструктор

Лабораторные работы

Ядерная и атомная физика

Электромагнитное взаимодействие

Электростатическое поле

Лекции Электростатика

Конструктивные материалы
Энергетика световых волн
Прохождение света
Оптические системы
Оптические изображения
Основы оптики
Практические занятия
Аберрации оптических систем
Лабораторные работы

Справочные материалы

Математика

Функции и их графики

Производные и дифференциалы

Матрицы, примеры

Нахождение корней уравнений

Векторная алгебра

Кривые и поверхности

Первообразная

Интегралы

Неопределенные интегралы

Определенные интегралы

Несобственные интегралы

Вычисление интегралов

Геометрические вычисления

Линейная алгебра

Аналитическая геометрия

Дискретная математика

Дифференцирование функции

Градиент и производная

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции

Приблеженное вычисление площади криволинейной трапеции
Теорема
Определение
Теорема
Свойства определённого интеграла Из предыдущего может сложиться неверное впечатление, будто для интегрируемости функции на отрезке необходима её непрерывность. Это не так, и интегрируемыми могут быть и разрывные функции (но, конечно, не все). Достаточно широкий класс интегрируемых функций даёт следующая теорема.

Теорема
Линейность интеграла
Докажем теперь, что если и -- интегрируемые на функции, то функция тоже интегрируема и имеет место формула
Теорема Из интегрируемости функции на отрезке следует, что она интегрируема и на любом отрезке $[a';b']\sbs[a;b]$ .
Следствие
Теорема
Теорема Пусть функция интегрируема на отрезке . Тогда функция $g(x)=\vert f(x)\vert$ также интегрируема на ,
Интеграл с переменным верхним пределом

Теорема Функция $\Phi(x)$ , определённая выше, непрерывна при всех $x\in[a;b]$ для любой интегрируемой функции .
Пример Для нахождения значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx$
Пример Найдём определённый интеграл $\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx.$
Определённый интеграл при произвольном соотношении между нижним и верхним пределами
Некоторые приёмы нахождения определённых интегралов Теперь, после изучения формулы Ньютона - Лейбница, мы можем, в принципе, найти определённый интеграл для любой функции, для которой умеем вычислить неопределённый интеграл, и для этого не нужно никаких дополнительных формул и правил. Однако для уменьшения громоздкости вычисления некоторых интегралов, полезно получить формулы для определённого интеграла в тех случаях, когда приходится применять замену переменного или формулу интегрирования по частям.
Формула замены переменного в определённом интеграле

Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2t\cos t\;dt.$
Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx.$
Проверка геометрического смысла интеграла при подсчёте площади части круга

Примеры решения задач

Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{dx}{x\ln x}.$
Пример При вычислим интеграл с переменным верхним пределом: $\displaystyle F(x)=\int_1^x\frac{1}{t}dt.$
Пример Найдём производную функции $\displaystyle F(x)=\int_x^{x^2}e^{-t^2}dt.$
Пример Найдём значение функции $\displaystyle F(x)=\int_1^x\ln t\;dt.$

Расчет электрических цепей Окраска металлоконструкций: стальное литье . Цепи постоянного и переменного тока Расчёт трёхфазных электрических цепей Законы Кирхгофа и расчёт резистивных электрических цепей Расчёт магнитной цепи Расчёт электрического поля Сборник заданий по ТОЭ Явление электромагнитной индукции и магнитные цепи Электрические цепи постоянного тока Электрические цепи переменного тока Баланс мощностей Граф электрической цепи Лекции по курсу основы электротехники