Первообразная и неопределённый интеграл

ftoe.ru

Электротехника

Конспекты по ТОЭ

Расчеты цепей

Основы электротехники

Электрическая цепь

Цепи синусоидального тока

Баланс мощностей

Переходные процессы

Цепи переменного тока

Цепи постоянного тока

Электромагнитная индукция

Сборник заданий по ТОЭ

Лабораторные работы

Постоянный и переменный ток

Расчет электрических цепей

Физика

Электронный конструктор

Лабораторные работы

Ядерная и атомная физика

Электромагнитное взаимодействие

Электростатическое поле

Лекции Электростатика

Конструктивные материалы
Энергетика световых волн
Прохождение света
Оптические системы
Оптические изображения
Основы оптики
Практические занятия
Аберрации оптических систем
Лабораторные работы

Справочные материалы

Математика

Функции и их графики

Производные и дифференциалы

Матрицы, примеры

Нахождение корней уравнений

Векторная алгебра

Кривые и поверхности

Первообразная

Интегралы

Неопределенные интегралы

Определенные интегралы

Несобственные интегралы

Вычисление интегралов

Геометрические вычисления

Линейная алгебра

Аналитическая геометрия

Дискретная математика

Дифференцирование функции

Градиент и производная

Определение первообразной и её свойства

Пример Рассмотрим функцию $f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}$ на объединении двух интервалов $\mathcal{D}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$
Пример
Замечания
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов

Таблица интегралов
Поскольку $(\sin x)'=\cos x$ , получаем $\displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+C.$
Табличная формула $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ означает, что $F(x)=\arcsin x$ -- первообразная для $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ на интервале .
Докажем формулу $\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+k}}=\ln\vert x+\sqrt{x^2+k}\vert+C,$
Докажем формулу $\displaystyle \int\frac{dx}{\sin x}=\ln\bigl\vert\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}\bigr\vert+C.$

Свойства неопределённого интеграла

Интеграл от суммы равен сумме интегралов: $\displaystyle \int(f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.$
Пример Найдём интеграл $\int(2\sin x+5\cos x)\,dx$ , пользуясь линейностью интеграла
Формула замены переменного
Пример Вычислим интеграл $\int e^{x^2}x\,dx$ .
Линейная замена
Формула интегрирования по частям
Пример Найдём интеграл $\int e^xx\,dx$ , применив формулу интегрирования по частям.
Пример Найдём интеграл $\int\ln x\,dx$ .
О "неберущихся" интегралах

Пример Неберущимся является интеграл $\displaystyle \int e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\Phi(x)+C.$
Пример Ещё один неберущийся интеграл: $\displaystyle \int\frac{\cos x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Ci}}\nolimits (x)+C.$
Пример Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл: $\displaystyle \int e^{-x^2}dx.$
Пример Вычислим интеграл от интегральной экспоненты $\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)$ .
Приближённое нахождение первообразных
Пример Найдём интеграл $\displaystyle \int xe^{-3x}dx$ при помощи интегрирования по частям.
Пример Вычислим интеграл $\displaystyle I=\int e^x\cos x\,dx.$
Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx.$
Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx.$