Численные методы решения дифференциальных уравнений.
Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют найти решение в виде аналитической функции, однако эти методы применимы для очень ограниченного класса функций. Большинство уравнений, встречающихся при решении практических задач нельзя проинтегрировать с помощью этих методов.
В таких случаях используются численные методы решения, которые представляют решение дифференциального уравнения не в виде аналитической функции, а в виде таблиц значений искомой функции в зависимости от значения переменной.
Существует несколько методов численного интегрирования дифференциальных уравнений, которые отличаются друг от друга по сложности вычислений и точности результата.
Рассмотрим некоторые из них.
Метод Эйлера.
(Леонард Эйлер (1707 – 1783) швейцарский математик )
[an error occurred while processing this directive]
Известно, что уравнение 
задает в некоторой области поле направлений. Решение
этого уравнения с некоторыми начальными условиями дает кривую, которая касается
поля направлений в любой точке.
Если взять последовательность точек х0, х1, х2, …. и заменить на получившихся отрезках интегральную кривую на отрезки касательных к ней, то получим ломаную линию.
y
M2
M1 M3
При подстановке
заданных начальных условий (х0, у0) в дифференциальное
уравнение получаем угловой коэффициент касательной к интегральной
кривой в начальной точке
Заменив на отрезке [x0, x1] интегральную кривую на касательную к ней, получаем значение
Производя аналогичную операцию для отрезка [x1, x2], получаем:
Продолжая подобные действия далее, получаем ломаную кривую, которая называется ломаной Эйлера.
Можно записать общую формулу вычислений:
Если последовательность точек хi выбрать так, чтобы они отстояли друг от друга на одинаковое расстояние h, называемое шагом вычисления, то получаем формулу:
Следует отметить, что точность метода Эйлера относительно невысока. Увеличить точность можно, конечно, уменьшив шаг вычислений, однако, это приведет к усложнению расчетов. Поэтому на практике применяется так называемый уточненный метод Эйлера или формула пересчета.
Суть метода состоит в том, что в формуле 
вместо значения
берется среднее арифметическое
значений f(x0, y0) и f(x1,
y1). Тогда уточненное значение:
[an error occurred while processing this directive]
Затем находится
значение производной в точке 
. Заменяя f(x0, y0) средним арифметическим значений f(x0, y0) и 
, находят второе уточненное значение у1.
Затем третье:
и т.д. пока два последовательных уточненных значения не совпадут в пределах заданной степени точности. Тогда это значение принимается за ординату точки М1 ломаной Эйлера.
Аналогичная операция производится для остальных значений у.
Подобное уточнение позволяет существенно повысить точность результата.