|
|
Уравнения Лагранжа и Клеро.
( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик ин. поч. член Петерб. АН )
Определение. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от y’.
Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y’.
Дифференцируя
это уравнение,c учетом
того, что 
,
получаем:
Если
решение этого (линейного относительно х) уравнения есть 
то общее решение уравнения
Лагранжа может быть записано в виде:
Определение. Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (т.е. линейное) относительно функции
и аргумента вида:
Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.
С
учетом замены 
, уравнение принимает вид:
Это уравнение имеет два возможных решения:
или 
В первом случае: 
Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий.
Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:
Исключая параметр р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением.
Это решение будет являться особым интегралом.
Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений первого порядка.
Другие главы электронного учебника "Физика"
Лабораторные работы Закон Ома для полной цепи Мощность в цепи постоянного тока Явление резонанса в цепи переменного тока Лекции и конспекты по курсу Электростатика Электрическое поле Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом Основная задача электростатики Закон Кулона Дифференциальные уравнения Справочные материалы по разделу Электричество Электрический ток и элементы электрических цепей. Электромагнетизм Магнитное поле – материя, связанная с движущимися зарядами (токами) и обнаруживающая себя по действию на движущиеся заряды.
Курс лекций Теория конструктивных материалов Кристаллическое строение металлов Кристаллизация Основы теории сплавов Металлы. Полупроводники Электропроводность твёрдых диэлектриков Диэлектрическая проницаемость и диэлектрические потери диэлектриков Основы специальной теории относительности Курс лекций Уравнения Максвелла Эксперимент Майкельсона-Морли Преобразования Лоренца Астрономические и земные измерения скорости света
Краткий справочник по разделам физики Второй и третий закон Ньютона Работа. Мощность. Момент силы Первое и второе начало термодинамики
|
;
|