, разлагается в сходящийся к ней степенной
ряд по степеням (z – z0).|
|
Ряды Тейлора и Лорана.
(Пьер Альфонс Лоран (1813 – 1854) – французский математик)
Функция f(z), аналитическая в круге , разлагается в сходящийся к ней степенной
ряд по степеням (z – z0).
Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:
Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора.
Рассмотрим теперь функцию f(z), аналитическую в кольце 
. Эта функция
может быть представлена в виде сходящегося ряда:
[an error occurred while processing this directive]
Ряд такого вида называется рядом Лорана. При этом функция f(z) может быть представлена в виде суммы:
Ряд, определяющий функцию f1(x), называется правильной частью ряда Лорана, а ряд, определяющий функцию f2(x), называется главной частью ряда Лорана.
Если предположить, что r = 0, то можно
считать, что функция аналитична в открытом круге 
за исключением
центральной точки z0. Как правило,
в этой точке функция бывает не определена.
Тогда точка z0 называется изолированной особой точкой функции f.
Рассмотрим следующие частные случаи:
1) Функция f(x) имеет вид: 
. Т.к. степенной ряд сходится во всех точках внутри круга,
то его сумма f1(x) определена
и непрерывно дифференцируема во всех точках круга, а, следовательно, и в центре
круга z0.
В этом случае говорят, что особенность функции f в точке z0 устранима. Для устранения особой точки достаточно доопределить функцию в центре круга (f(z0) = c0) и функция будет аналитической не только в окрестности центра круга, но и в самом центре.
В этом случае 
для любого контура L, содержащего
точку z0 и принадлежащего
к кругу .
Другие главы электронного учебника "Физика"
Лабораторные работы Закон Ома для полной цепи Мощность в цепи постоянного тока Явление резонанса в цепи переменного тока Лекции и конспекты по курсу Электростатика Электрическое поле Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом Основная задача электростатики Закон Кулона Дифференциальные уравнения Справочные материалы по разделу Электричество Электрический ток и элементы электрических цепей. Электромагнетизм Магнитное поле – материя, связанная с движущимися зарядами (токами) и обнаруживающая себя по действию на движущиеся заряды.
Курс лекций Теория конструктивных материалов Кристаллическое строение металлов Кристаллизация Основы теории сплавов Металлы. Полупроводники Электропроводность твёрдых диэлектриков Диэлектрическая проницаемость и диэлектрические потери диэлектриков Основы специальной теории относительности Курс лекций Уравнения Максвелла Эксперимент Майкельсона-Морли Преобразования Лоренца Астрономические и земные измерения скорости света
Краткий справочник по разделам физики Второй и третий закон Ньютона Работа. Мощность. Момент силы Первое и второе начало термодинамики
|
;
|