сходится
равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b],
если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов
сходящегося числового ряда с положительными членами :|
|
Функциональные ряды.
Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)
(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)
Ряд сходится
равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b],
если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов
сходящегося числового ряда с положительными членами :
т.е. имеет место неравенство:
.
Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируется числовым рядом 
.
Пример. Исследовать на сходимость ряд 
.
Так
как 
всегда,
то очевидно, что 
.
При
этом известно, что общегармонический ряд 
при a=3>1 сходится, то
в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и
притом в любом интервале.
[an error occurred while processing this directive]
Пример. Исследовать на сходимость ряд 
.
На
отрезке [-1,1] выполняется неравенство 
т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый
ряд сходится, а на интервалах (-µ, -1) È (1, µ) расходится.
Свойства равномерно сходящихся рядов.
1) Теорема о непрерывности суммы ряда.
Если члены ряда
- непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x)
есть непрерывная функция на отрезке [a,b].
2) Теорема о почленном интегрировании ряда.
Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.
3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.
Если члены ряда
сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные
производные, и ряд, составленный из этих производных 
сходится на этом отрезке
равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.
На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.
На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.
Другие главы электронного учебника "Физика"
Лабораторные работы Закон Ома для полной цепи Мощность в цепи постоянного тока Явление резонанса в цепи переменного тока Лекции и конспекты по курсу Электростатика Электрическое поле Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом Основная задача электростатики Закон Кулона Дифференциальные уравнения Справочные материалы по разделу Электричество Электрический ток и элементы электрических цепей. Электромагнетизм Магнитное поле – материя, связанная с движущимися зарядами (токами) и обнаруживающая себя по действию на движущиеся заряды.
Курс лекций Теория конструктивных материалов Кристаллическое строение металлов Кристаллизация Основы теории сплавов Металлы. Полупроводники Электропроводность твёрдых диэлектриков Диэлектрическая проницаемость и диэлектрические потери диэлектриков Основы специальной теории относительности Курс лекций Уравнения Максвелла Эксперимент Майкельсона-Морли Преобразования Лоренца Астрономические и земные измерения скорости света
Краткий справочник по разделам физики Второй и третий закон Ньютона Работа. Мощность. Момент силы Первое и второе начало термодинамики
|
;
|