была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для
любого 
существовал такой номер N,
что при n > N и любом p
> 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:|
|
Критерий Коши. (необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для
любого существовал такой номер N,
что при n > N и любом p
> 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:
.
Доказательство. (необходимость)
Пусть
, тогда для
любого числа найдется номер N такой,
что неравенство
выполняется при n>N. При n>N и любом
целом p>0 выполняется также неравенство 
. Учитывая оба неравенства,
получаем:
Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.
Сформулируем критерий Коши для ряда.
[an error occurred while processing this directive]
Для того, чтобы ряд 
был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для
любого существовал номер N такой,
что при n>N и любом p>0 выполнялось
бы неравенство
.
Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:
1) Если ряд 
сходится,
то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным.
Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно
расходится. Например, так называемый гармонический ряд 
является расходящимся,
хотя его общий член и стремится к нулю.
Пример. Исследовать сходимость ряда 
Найдем
- необходимый
признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.
2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Однако, этот признак также не является достаточным.
Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что
Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. 
при любом n.
Другие главы электронного учебника "Физика"
Лабораторные работы Закон Ома для полной цепи Мощность в цепи постоянного тока Явление резонанса в цепи переменного тока Лекции и конспекты по курсу Электростатика Электрическое поле Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом Основная задача электростатики Закон Кулона Дифференциальные уравнения Справочные материалы по разделу Электричество Электрический ток и элементы электрических цепей. Электромагнетизм Магнитное поле – материя, связанная с движущимися зарядами (токами) и обнаруживающая себя по действию на движущиеся заряды.
Курс лекций Теория конструктивных материалов Кристаллическое строение металлов Кристаллизация Основы теории сплавов Металлы. Полупроводники Электропроводность твёрдых диэлектриков Диэлектрическая проницаемость и диэлектрические потери диэлектриков Основы специальной теории относительности Курс лекций Уравнения Максвелла Эксперимент Майкельсона-Морли Преобразования Лоренца Астрономические и земные измерения скорости света
Краткий справочник по разделам физики Второй и третий закон Ньютона Работа. Мощность. Момент силы Первое и второе начало термодинамики
|
;
|