, которая удовлетворяет уравнению Лапласа|
|
Решение задачи Дирихле для круга.
Пусть в плоскости XOY имеется круг радиуса R с центром в начале координат и на его окружности задана функция f(j), где j - полярный угол.
Требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению Лапласа
и
при 
Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах:
Полагаем
Подставляя
это соотношение в уравнение Лапласа, получаем:
Таким образом, имеем два уравнения:
Общее
решение первого уравнения имеет вид: 
Решение
второго уравнения ищем в виде: 
. При подстановке получим:
Общее
решение второго уравнения имеет вид: 
.
Подставляя полученные решения в уравнение 
, получим:
Эта функция будет решением уравнения Лапласа при любом k ¹ 0.
[an error occurred while processing this directive]
Если k = 0, то 
следовательно 
.
Решение должно быть периодическим, т.к. одно и то же значение будет повторяться через 2p. (Тогда рассматривается одна и та же точка круга.) Поэтому В0 = 0.
Решение должно быть конечным и непрерывным, поэтому D0 = 0.
Окончательно
получаем: 
При
этом: 
Если подставить эти коэффициенты в полученную выше формулу и произвести упрощение, получаем окончательный результат решения задачи Дирихле, который называется интегралом Пуассона. (Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик)
Другие главы электронного учебника "Физика"
Лабораторные работы Закон Ома для полной цепи Мощность в цепи постоянного тока Явление резонанса в цепи переменного тока Лекции и конспекты по курсу Электростатика Электрическое поле Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом Основная задача электростатики Закон Кулона Дифференциальные уравнения Справочные материалы по разделу Электричество Электрический ток и элементы электрических цепей. Электромагнетизм Магнитное поле – материя, связанная с движущимися зарядами (токами) и обнаруживающая себя по действию на движущиеся заряды.
Курс лекций Теория конструктивных материалов Кристаллическое строение металлов Кристаллизация Основы теории сплавов Металлы. Полупроводники Электропроводность твёрдых диэлектриков Диэлектрическая проницаемость и диэлектрические потери диэлектриков Основы специальной теории относительности Курс лекций Уравнения Максвелла Эксперимент Майкельсона-Морли Преобразования Лоренца Астрономические и земные измерения скорости света
Краткий справочник по разделам физики Второй и третий закон Ньютона Работа. Мощность. Момент силы Первое и второе начало термодинамики
|
;
|