, то
решение j(t) называется асимптотически устойчивым.|
|
Элементы теории устойчивости.
(Ляпунов Александр Михайлович (1857 – 1918) академик Петерб. АН)
Т.е. можно сказать, что решение j(t) устойчиво по Ляпунову, если близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и при t ³ t0.
Если , то
решение j(t) называется асимптотически устойчивым.
Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решения 
системы 
можно свести
к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой системы,
которая получена из данной заменой неизвестных функций:
Тогда:
(2)
Система (2) имеет тривиальное (равное нулю) решение 
Теорема. Решение
системы (1) устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову
тривиальное решение системы (2).
Это тривиальное решение называется положением равновесия или точкой покоя.
[an error occurred while processing this directive]
Определение. Точка покоя 
системы
(2) устойчива по Ляпунову, если для любого 
такое, что из неравенства
следует
.
Теорема. (Теорема Ляпунова). Пусть задана система
имеющая
тривиальное решение 
.
Пусть существует дифференцируемая функция 
, удовлетворяющая условиям:
1) ³0 и v = 0 только при у1
= у2 = … = уn =0, т.е. функция
v имеет минимум
в начале координат.
2) Полная производная функции v вдоль фазовой траектории (т.е. вдоль решения yi(t) системы (1)) удовлетворяет условию:
при
Тогда
точка покоя 
устойчива по Ляпунову.
Если ввести дополнительное требование, чтобы вне сколь угодно малой окрестности
начала координат 
выполнялось условие
где
b - постоянная величина, то точка покоя асимптотически устойчива.
Функция v называется функцией Ляпунова.
Другие главы электронного учебника "Физика"
Лабораторные работы Закон Ома для полной цепи Мощность в цепи постоянного тока Явление резонанса в цепи переменного тока Лекции и конспекты по курсу Электростатика Электрическое поле Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом Основная задача электростатики Закон Кулона Дифференциальные уравнения Справочные материалы по разделу Электричество Электрический ток и элементы электрических цепей. Электромагнетизм Магнитное поле – материя, связанная с движущимися зарядами (токами) и обнаруживающая себя по действию на движущиеся заряды.
Курс лекций Теория конструктивных материалов Кристаллическое строение металлов Кристаллизация Основы теории сплавов Металлы. Полупроводники Электропроводность твёрдых диэлектриков Диэлектрическая проницаемость и диэлектрические потери диэлектриков Основы специальной теории относительности Курс лекций Уравнения Максвелла Эксперимент Майкельсона-Морли Преобразования Лоренца Астрономические и земные измерения скорости света
Краткий справочник по разделам физики Второй и третий закон Ньютона Работа. Мощность. Момент силы Первое и второе начало термодинамики
|
;
|