Примеры решения задач по математике

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Составить уравнение нормали и уравнение касательной к кривой   в точке с абсциссой .

Решение. Уравнение касательной к кривой  в точке  имеет вид: . Уравнение нормали имеет вид: .

Найдем производную функции в точке с абсциссой .

  .

Запишем уравнения касательной к кривой  в точке с абсциссой :  или . Уравнение нормали в этой же точке:   или .

Пример 2. Составить уравнения касательной и нормали к эллипсу   в точке .

Решение. Находим производную неявной функции :

, откуда , . Подставляя значения , ,  в формулы уравнений касательной  и нормали , получим  или  – уравнение касательной;   или  – уравнение нормали.

Дифференциал. Приближенные вычисления с помощью
дифференциала

Если для любого достаточно малого  выполняется равенство , где  - постоянная,  - бесконечно малая функция при , то функция  называется дифференцируемой в точке . Главная линейная часть приращения называют дифференциалом функции в точке  и обозначают в виде

.

Подчеркнем, что дифференциал – это линейная функция от , бесконечно малая при .

Теорема. Для того чтобы функция  имела производную , необходимо и достаточно, чтобы эта функция была дифференцируемой в точке , при этом .

На рис. 2 изображен график некоторой дифференцируемой функции  в точке . Точки  и  на графике функции имеют соответственно координаты  и .

Выражения  геометрически означают длины следующих отрезков: . Треугольник  ограничен горизонтальной линией , вертикальной линией   и касательной  к графику функции в точке . В силу геометрического смысла производной имеем: ; но тогда  есть длина отрезка . Таким образом, с геометрической точки зрения дифференциал равен приращению ординаты касательной от точки   до точки .

Заметим, что разделение приращения функции  на две части:  соответствует разделению отрезка : . Длина отрезка , как уже отмечалось, равна значению дифференциала, а длина отрезка  – бесконечно малая более высокого порядка, чем . Действительно, из рисунка видно, что доля   в отрезке  стремится к нулю при .

В равенстве  функция  является б.м.ф. более высокого порядка, чем , следовательно, имеет смысл говорить о приближенных равенствах (при малых ):

, или .

Формула  важна в задачах, когда известны значения функции   и ее производной  в точке   и требуется вычислить значение функции  в некоторой близкой к  точке .

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти дифференциал функции .

Решение. Сначала найдем первую производную исходной функции:

Далее в силу равенства  получим .

Пример 2. Найти дифференциал функции, заданной неявно .

Решение. Найдем дифференциал обеих частей равенства. Получим . Отсюда выразим дифференциал :

.

Пример 3. Вычислить приближенно значение .

Решение. Воспользуемся формулой . Для этого определим функцию  и положим ,  или в радианах  и .

Тогда, учитывая, что , получим

, или

Для сравнения: имеет место равенство  с четырьмя верными знаками.

Пример 4. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию  и выберем , . Найдем:

.

Тогда . Для сравнения: приближенно  с точностью до 9-го знака после запятой.

 

 
Французский стиль в русской архитектуре
Математика, сопротивление материалов, электротехника лекции, задачи