Примеры решения задач по математике

Математика
Дифференциальные уравнения
Примеры решения интегралов
Решение типовых задач
Сопромат, начерталка
Работа«Соединение болтом»
Работа «Соединение шпилькой»
Выполнить эскизы

Деталирование чертежа

Контрольная работа по сопромату
Проекционное черчение
Начертательная геометрия
Физика, электротехника
Учебник по физике
Лабораторные и контрольные
работы по электротехнике
Кинематика
Примеры решения задач
Динамика движения твердого тела
Работа и энергия
Электростатика
Энергия электростатического поля
Законы постоянного тока

Сила Ампера.

Энергия магнитного поля
Термодинамика
Учебник по информационным технологиям
Информационные сети
Информационные ресурсы сетей
Физические характеристики
волоконно-оптических передающих сред
Основные сервисы сетевой среды Internet
Протоколы и сервисы поисковых систем
Подсети. Маска подсети. Имена
Таблица маршрутизации
Методы коммутации информации
Высокоскоростное подключение
по аналоговым каналам
Взаимосвязь с другими сетями и архитектурами
Потери пакетов
Распределенные системы обработки данных
Создание стандартных технологий локальных сетей
Проблемы объединения нескольких компьютеров
Логическая структуризация сети
Поддержка разных видов трафика
Пропускная способность линии
Кабели на основе экранированной витой пары
Асинхронная и синхронная передачи
Методы коммутации
Коммутация пакетов
Технология Fast ethernet
Технология Gigabit ethernet
Технология FDDI
Технология виртуальных сетей
Структура глобальной сети
Основные принципы технологии АТМ
Технология мобильных сетей
Организация физических и логических каналов
в стандарте GSM
Схема взаимодействия локальных, городских
и глобальных вычислительных сетей
Удаленный доступ
Типы используемых глобальных служб
Многосегментные концентраторы
Типы адресов стека TCP/IP
Таблицы маршрутизации в IP-сетях
Протокол надежной доставки TCP-сообщений
Использование выделенных линий для построения
корпоративной сети

Использование служб ISDN в корпоративных сетях

Энергетика
Рентгеновское излучение
Ускорители элементарных частиц и ионов
Первый бетатрон для ускорения
электронов
Реактор БИГР (быстрый импульсный
графитовый реактор)
Атомные батареи в космосе
Атомные батареи для маяков, бакенов
Космические ядерные аварии
Импульсные реакторы
Излучатели нейтронов
Лекции по радиобиологии
Загрязнение окружающей среды
в результате ядерных взрывов
Выбрасы радиоактивных веществ
в атмосферу
Газообразные выбросы АЭС
Нормирование выбросов радиоактивных
газов в атмосферу
АЭС с реактором ВВЭР
АЭС с быстрыми реакторами
Химические свойства радиоактивных элементов
Применение тория
Химически уран

Плутоний

Декоративное садоводство
и цветоводство
Садово-парковое искусство
Комнатное цветоводство
Ландшафтный дизайн
Современные садовые стили
Кантри во французском стиле
История искусства
Портретная живопись
Архитектура Франция
Живопись Франция
Скульптура
Франсиско Гойя.
Французская пейзажная живопись
Соединенные Штаты
Основатели фотографии
Реализм и импрессионизм
Моне и импрессионизм.
Эдвард Мунк
Поль Сезанн

Огюст Роден

История искусства средних веков
Искусство остготов и лангобардов
Искусство периода Каролингов
Романское искусство
Скульптура, живопись и прикладное искусство
Средневековое искусство Германии
В романском искусстве Германии
Романские соборы Англии
Искусство Южной Италии
Готическое искусство
Собор в Лане
Собор Сен Пьер в Пуатье
Скульптурное убранство готических
фасадов в Германии
Интерьеры английских соборов
Готическая архитектура Испании
Портрет в русском искусстве ХlX- начала ХХ века
Этапы развития натюрморта в русском исскустве
Химия
Примеры решения задач по химии

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Составить уравнение нормали и уравнение касательной к кривой   в точке с абсциссой .

Решение. Уравнение касательной к кривой  в точке  имеет вид: . Уравнение нормали имеет вид: .

Найдем производную функции в точке с абсциссой .

  .

Запишем уравнения касательной к кривой  в точке с абсциссой :  или . Уравнение нормали в этой же точке:   или .

Пример 2. Составить уравнения касательной и нормали к эллипсу   в точке .

Решение. Находим производную неявной функции :

, откуда , . Подставляя значения , ,  в формулы уравнений касательной  и нормали , получим  или  – уравнение касательной;   или  – уравнение нормали.

Дифференциал. Приближенные вычисления с помощью
дифференциала

Если для любого достаточно малого  выполняется равенство , где  - постоянная,  - бесконечно малая функция при , то функция  называется дифференцируемой в точке . Главная линейная часть приращения называют дифференциалом функции в точке  и обозначают в виде

.

Подчеркнем, что дифференциал – это линейная функция от , бесконечно малая при .

Теорема. Для того чтобы функция  имела производную , необходимо и достаточно, чтобы эта функция была дифференцируемой в точке , при этом .

На рис. 2 изображен график некоторой дифференцируемой функции  в точке . Точки  и  на графике функции имеют соответственно координаты  и .

Выражения  геометрически означают длины следующих отрезков: . Треугольник  ограничен горизонтальной линией , вертикальной линией   и касательной  к графику функции в точке . В силу геометрического смысла производной имеем: ; но тогда  есть длина отрезка . Таким образом, с геометрической точки зрения дифференциал равен приращению ординаты касательной от точки   до точки .

Заметим, что разделение приращения функции  на две части:  соответствует разделению отрезка : . Длина отрезка , как уже отмечалось, равна значению дифференциала, а длина отрезка  – бесконечно малая более высокого порядка, чем . Действительно, из рисунка видно, что доля   в отрезке  стремится к нулю при .

В равенстве  функция  является б.м.ф. более высокого порядка, чем , следовательно, имеет смысл говорить о приближенных равенствах (при малых ):

, или .

Формула  важна в задачах, когда известны значения функции   и ее производной  в точке   и требуется вычислить значение функции  в некоторой близкой к  точке .

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти дифференциал функции .

Решение. Сначала найдем первую производную исходной функции:

Далее в силу равенства  получим .

Пример 2. Найти дифференциал функции, заданной неявно .

Решение. Найдем дифференциал обеих частей равенства. Получим . Отсюда выразим дифференциал :

.

Пример 3. Вычислить приближенно значение .

Решение. Воспользуемся формулой . Для этого определим функцию  и положим ,  или в радианах  и .

Тогда, учитывая, что , получим

, или

Для сравнения: имеет место равенство  с четырьмя верными знаками.

Пример 4. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию  и выберем , . Найдем:

.

Тогда . Для сравнения: приближенно  с точностью до 9-го знака после запятой.

 

 
Математика примеры Метод Лагранжа
Математика, сопротивление материалов, электротехника лекции, задачи