Примеры решения задач по математике

Правило Лопиталя

Это правило нахождения некоторых пределов функций при помощи производных. Правило Лопиталя задается следующей теоремой.

Теорема. Пусть 1) функции  и  дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки , 2)  (или ), 3)  и  в этой окрестности. Тогда, если существует , то существует  и верно равенство

.

Замечание. Теорема верна и для случая  (). Цена фитнес клуб тут

Замечание. Теорема верна и для случая

Замечание. Из условий теоремы следует, что функция  является неопределенностью вида   (или ) при , следовательно, теорема позволяет в некоторых случаях раскрыть эти неопределенности.

Часто правило Лопиталя применяется повторно следующим образом. Пусть при выполнении условий 1) – 3) теоремы  является неопределенностью вида  (или ). Тогда правило Лопиталя применяется повторно к  и т. д. Если после нескольких повторных применений правила будет получено конечное или бесконечное значение предела, то оно будет равно .

Для раскрытия неопределенностей типа  необходимо преобразовать соответствующее произведение , где   и , например,  (вид ) или  (вид ).

В случае неопределенности вида  необходимо преобразовать соответствующую разность , где  и , в произведение  и раскрыть сначала неопределенность ; если , то следует привести выражение к виду   (вид ).

Неопределенности видов , ,  раскрываются с помощью предварительного логарифмирования и нахождения предела степени . Эти неопределенности сводятся к случаю неопределенности , при этом используется тождество .

Примеры решения типовых задач

Пример. Найти с помощью правила Лопиталя:

а) ; б) .

Решение. a)

Итак, .

При решении этого примера правило Лопиталя фактически было применено трижды (в тех местах, где над знаком равенства указан вид неопределенности). При этом для обеспечения строгости рассуждений необходимо каждый раз проверять условия сформулированного выше утверждения.

б) Очевидно, что здесь вообще нет эквивалентных функций. Кроме того, при   и . Это неопределенность вида , к которой правило Лопиталя не применяется, однако можно учесть, что если  – бесконечно малая при  функция, то  будет бесконечно большой при . Поскольку ,то мы приходим к неопределенности  и далее действуем так, как при решении задания а). Обе функции требуемым условиям удовлетворяют, поэтому

.

Применение степенных рядов http://intod.ru/ Цена фитнес клуб тут
Математика, сопротивление материалов, электротехника лекции, задачи