Поток вектора.
Задано некоторое поле 
, в какой-то точке пространства задан
вектор 
. В окрестности этой точки
выбираем площадку dS, площадку ориентированную, её ориентация характеризуется
вектором 
. Тогда конструкция 
называется поток вектора через площадку
dS. При этом площадка настолько мала, что вектор может считаться в пределах этой площадки постоянным.
Теперь ситуация другая. Рассмотрим некоторый кусок поверхности.
Эту поверхность разбиваем на элементы. Вот, например, выделенный элемент под номером
i, его площадь Si, его нормаль 
. Где-то в пределах элемента выбираем вектор , сам элемент задаётся радиус-вектором
, то есть какая-то точка внутри элемента
имеет радиус-вектор . Сумма по всем элементам поверхности образует такую сумму:
, а теперь предел 
обозначается так: 
.
Ну,
это стандартный опять приём: интеграл есть предел суммы по определению, предел
этой суммы называется поток вектора через поверхность S.
Так,
если дует ветер, в каждой точке некоторой поверхности определён вектор скорости,
тогда поток вектора скорости по этой поверхности - будет объём воздуха, проходящего
через поверхность за единицу времени. Если векторное поле
не поле скоростей, а нечто другое, то ничего там не течёт. Это есть некий термин,
и не надо понимать его буквально.
Если поверхность замкнута, то разобьём её на маленькие элементы. Но берётся ограничение: вектор нормали выбирается наружу (выбор нормали влияет на знак). Если поверхность замкнута, то нормаль берётся наружу, а соответствующий интеграл снабжается кружочком. Это, что касается термина поток.
Если
- поле скоростей, то скалярное произведение 
отрицательно (см. рис.2.2 цифра 1), это газ или воздух,
втекающий в поверхность. А берём площадку 2, здесь поток положительный, это воздух,
вытекающий из поверхности. Если мы вычислим такую штуку 
для потока скорости ветра через замкнутую
поверхность, (это будет разность воздуха втекающего и вытекающего) и, если течение
стационарное, то есть скорость со временем не меняется, то такой интеграл будет
равен нулю, хотя и не всегда.
Если взять 
, то такая штука 
означает, что масса втекающего воздуха равна массе вытекающего.