Потенциальная энергия ограниченного распределения заряда во внешнем поле.
Пусть
имеется распределение заряда, разобьём заряд на малые элементы объёма dV, в этом
элементе объёма заряд 
. 
- это потенциальная энергия заряда в элементе объёма dV,
энергия элементарного заряда. Тогда вся потенциальная энергия этого распределения
будет равна 
.
Это точная формула. Теперь мы займёмся получением приближённой формулы.
Выберем некоторую точку внутри распределения, радиус-вектор
этой точки будет 
, радиус-вектор 
– это вектор, идущий из выбранной точки в этот элемент объёма,
. Тогда потенциал в точке
– это 
1)
. Пока написано разложение с точностью до первых производных,
дальше там пойдут слагаемые со вторыми производными и так далее, это факт математический.
В основе этого вычисления лежит следующее предположение:
будем считать, что потенциал мало меняется в пределах распределения, то есть распределение
не слишком велико. Это означает, что второе слагаемое много меньше первого, то
есть значение потенциала в некоторой точке внутри такое-то, а добавка к потенциалу,
когда мы доходим до края распределения, мала, поэтому далее слагаемые мы выкидываем
вообще. Подставим теперь это дело в формулу для потенциальной энергии: 
2) 
.
Мы добыли вот такую симпатичную
формулу: 
, где – радиус-вектор, идущий в некоторую точку внутри распределения,
это опять разложение по мультиполям.
Что это физически означает? Главный вклад в потенциальную
энергию – полный заряд на значение потенциала где-то внутри распределения, поправочное
слагаемое, учитывающее дипольный момент распределения (дипольный момент характеризует
как там размещены друг относительно друга отрицательные и положительные заряды),
и др. характеристики, учитывающие моменты более высоких порядков.
Чтобы
дальше эта буква не вводила в заблуждение, перепишем результат так: 
.
А теперь мы можем найти силу (сила – это градиент потенциальной
энергии), пишем: 
. И окончательно получим такой результат:
