Поля, создаваемые распределениями зарядов с хорошей симметрией
Ну
и сразу такое определение: при достаточно хорошей симметрии напряжённость поля
может быть найдена из уравнения 
. Значит, при достаточно хорошей симметрии поле
всегда может быть найдено вот из этой интегральной теоремы. Ну, у нас это первое
уравнение Максвелла. А теперь частные случаи.
Второй случай.
2) Цилиндрическая
симметрия. Вводим цилиндрические координаты 
, 
переходит в . Вот у нас в цилиндрических координатах плотность 
есть только функция от 
, то есть не зависит от 
и не зависит от 
. Это означает, что имеется бесконечный цилиндр,
и на поверхности цилиндра любого радиуса плотность заряда постоянна, и всё это
дело продолжается до бесконечности по , вот такая ситуация. Сразу, конечно ясно, что физически
это не реализуется, но в качестве некоторой идеализации это разумно. Напишем снова
, значит, эквипотенциальные поверхности
– это цилиндры с осью, совпадающей с осью симметрии, то есть с осью .
А силовые линии лежат в плоскостях ортогональных оси . Так. В качестве замкнутой поверхности выбираем цилиндрическую
поверхность радиуса и высотой 
, цилиндрическая поверхность, закрытая двумя крышками для
того, чтобы она была замкнутой. Нормаль всегда берётся наружу. Из соображений
симметрии ясно 
(напряжённость поля
в любой точке цилиндрической поверхности направлена вдоль вектора 
, а величина зависит только от расстояния
до оси симметрии). Поскольку у нас поверхность теперь задана в виде нескольких
кусков, интеграл представится как сумма интегралов по этим кускам: 
.
Интеграл по крышкам равен нулю, потому что вектор 
скользит по крышкам, скалярное произведение
с нормалью – ноль. 
.
Внутренняя начинка этого цилиндра 
,
это интеграл по . 
, где 
- это заряд на единицу длины цилиндра радиуса , то есть это заряд лепёшки радиуса
единичной толщины. Отсюда мы получаем результат:
напряжённость
поля во всех точках цилиндрической поверхности радиуса .
Эта формула убивает все проблемы, связанные с цилиндрической
симметрией. И, наконец, третий пункт.
