Потенциал
Вот
такое математическое утверждение: 
. 
Вы, вот, словами должны читать сами
формулы. Кстати, физику можно излагать без слов, так же, как математику. Из того,
что циркуляция для любого контура равна нулю, следует, что векторное поле 
может быть выражено через некоторую функцию от 
, называемую градиентом скалярного поля
: 
. Любому скалярному полю можно
поставить в соответствие векторное поле 
вот по такому рецепту. Это векторное поле называется градиентом
скалярного поля .
Смысл векторного поля. - это вектор, направление вектора это направление, в котором функция меняется
наиболее быстро. Направление вектора это направление быстрейшего изменения функции ,
а величина вектора характеризует скорость изменения функции в
этом направлении. Ну, скорость по отношению к пространственному перемещению.
Температура,
заведомо скалярная величина. В данной точке сунули термометр, он что-то показал,
сунули в другую, он покажет другую температуру. А теперь, градиент от этого скалярного
поля. Температура в данной точке такая, сместились в эту сторону на метр - другая
температура, и так во все стороны, где температура выше, туда будет направлен
её градиент 
, а величина этого вектора 
.
Другой пример - плотность. Имеем стационарную атмосферу. Направление градиента плотности воздуха будет по вертикали и именно сверху вниз (вниз плотность будет возрастать).