Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования Примеры Аналитическая геометрия в примерах

 

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

В главе "Поверхности второго порядка", где рассматривались поверхности второго порядка, было выписано их общее уравнение (13.1), а дальше для каждой поверхности использовалась своя прямоугольная декартова система координат, в которой уравнение поверхности имело канонический вид. В этом разделе мы выясним, как по общему уравнению найти такую систему координат. Результаты этого раздела используются и для приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Достаточно будет во всех рассуждениях отбросить третью координату.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат $ Oxyz$ . Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка, коэффициенты в котором обозначены специальным образом

$\displaystyle a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+b_1x+b_2y+b_3z+c=0,$(19.7)
 


где $ a_{ij},\,b_i,\,c$  -- числа, причем хотя бы одно из чисел $ a_{ij}$ отлично от нуля.

Выделим квадратичную часть выражения, стоящего в уравнении слева,

$\displaystyle f=a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz.$

Такое выражение называется квадратичной формой от трех переменных. Составим матрицу

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{array}\right).$

Эта матрица называется матрицей квадратичной формы $ f$ . Она является симметричной, то есть $ {A^{\top}=A}$ , или, другими словами, $ {a_{ij}=a_{ji}}$ . Следует обратить внимание на то, как эта матрица составлена. На диагонали у нее стоят коэффициенты при квадратах переменных, а в остальных местах -- половины коэффициентов при произведениях переменных.

Исходная система координат является прямоугольной, поэтому скалярное произведение векторов с координатными столбцами $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ {\alpha}_3\end{array}\right)}$ , $ {{\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ {\beta}_3\end{array}\right)}$ задается формулой $ {({\alpha},{\beta})={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+{\alpha}_3{\beta}_3}$ . Сформулируем две теоремы, позволяющие пользоваться приведенным ниже алгоритмом.

        Теорема 19.4   Если матрица $ A$  -- симметричная, то ее собственные числа являются вещественными числами и существует ортонормированный базис из собственных векторов.     

Пусть $ A$ -- матрица квадратичной формы $ f$ . По сформулированной теореме у нее существует ортонормированный базис из собственных векторов. Обозначим их $ {\bf i}'$ , $ {\bf j}'$ , $ {\bf k}'$ , и пусть эти векторы имеют координаты

$\displaystyle {\bf i}'=\left(\begin{array}{c}s_{11}\\ s_{21}\\ s_{31}\end{array... ...uad {\bf k}'=\left(\begin{array}{c}s_{13}\\ s_{23}\\ s_{33}\end{array}\right).$
Базис i, j, k назовем старым, а базис $ {{\bf i}', {\bf j}', {\bf k}'}$  -- новым. Тогда матрица перехода 19.1.4.а будет иметь вид
 
$\displaystyle S=\left(\begin{array}{ccc}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\ s_{21}&s_{22}&s_{23}\\ s_{31}&s_{32}&s_{33} \end{array}\right).$

Выберем новую систему координат $ {Ox'y'z'}$ так, что начало координат не изменяется, а новые базисные векторы $ {\bf i}'$ , $ {\bf j}'$ , $ {\bf k}'$ задают направления новых координатных осей $ Ox'$ , $ Oy'$ , $ Oz'$ (рис. 19.8).

Рис.19.8.Система координат $ {Ox'y'z'}$


Тогда координаты $ (x;y;z)$ точки $ M$ являются координатами ее радиус-вектора $ \overrightarrow {OM}$ и, следовательно, при замене базиса меняются по формуле (18.1)

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=S\left(\begin{array}{c}x'\\ y'\\ z'\end{array}\right).$(19.8)



Сборник заданий по ТОЭ Теоретическим основам электротехники Примеры решений

;