Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования Примеры Аналитическая геометрия в примерах

Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов

 Теорема 19.3   Пусть собственные векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ преобразования $ \mathcal{A}$ соответствуют собственным числам $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_k}$ , среди которых нет равных друг другу. Тогда система векторов $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ является линейно независимой.

        Доказательство.     Воспользуемся методом математической индукции по числу векторов. Если $ {k=1}$ , то утверждение теоремы следует из того, что собственный вектор -- ненулевой.

Пусть утверждение верно для системы векторов $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_{k-1}}$ . Составим линейную комбинацию векторов $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_k}$ и приравняем ее к нулю

$\displaystyle \mu_1e_1+\mu_2e_2+\ldots+\mu_ke_k=0.$(19.6)
 


К обеим частям применим преобразование $ \mathcal{A}$

$\displaystyle \mathcal{A}(\mu_1e_1+\mu_2e_2+\ldots+\mu_ke_k)=0.$

По определению линейного преобразования получим

$\displaystyle \mu_1\mathcal{A}(e_1)+\mu_2\mathcal{A}(e_2)+\ldots+\mu_k\mathcal{A}(e_k)=0.$

Так как $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$  -- собственные векторы, то

$\displaystyle \mu_1{\lambda}_1 e_1+\mu_2{\lambda}_2 e_2+\ldots+\mu_k{\lambda}_ke_k=0.$

Умножим равенство (19.6) на $ {\lambda}_k$ и вычтем из последнего равенства. Получим

$\displaystyle \mu_1({\lambda}_1-{\lambda}_k) e_1+\mu_2({\lambda}_2-{\lambda}_k) e_2+\ldots+\mu_{k-1}({\lambda}_{k-1} -{\lambda}_k)e_k=0.$

Так как по предположению индукции векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_{k-1}}$ линейно независимы, то

$\displaystyle \mu_1({\lambda}_1-{\lambda}_k)=\mu_2({\lambda}_2-{\lambda}_k)=\ldots=\mu_{k-1}({\lambda}_{k-1}-{\lambda}_k)=0.$

По условию $ {{\lambda}_1-{\lambda}_k\ne0,\;{\lambda}_2-{\lambda}_k\ne0,\ldots,\;{\lambda}_{k-1}-{\lambda}_k\ne0}$ , следовательно, $ {\mu_1=\mu_2=\ldots=\mu_{k-1}=0}$ . Подставим эти значения в (19.6), получим $ {\mu_k=0}$ . Получили, что из равенства (19.6) следует $ {\mu_1=\mu_2=\ldots=\mu_k=0}$ , то есть векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_k}$ линейно независимы.     

        Следствие 19.3   Если матрица $ A$ порядка $ n$ имеет $ n$ попарно различных собственных чисел, то она подобна диагональной матрице.

 

       

Сборник заданий по ТОЭ Теоретическим основам электротехники Примеры решений

;