Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Приближённое нахождение корней уравнений Высшая математика в примерах

Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума

В этой главе речь пойдёт о приближённом нахождении корней уравнения $ f(x)=0$. Дело в том, что решить это уравнение "точно", то есть выразить его корни $ x_1,x_2,\dots$ через известные постоянные (целые числа, числа $ e$, $ \pi$ и другие им подобные) с помощью элементарных функций от этих постоянных, удаётся далеко не всегда. Уже корни многочленов степени выше 4 не всегда выражаются "в радикалах", а общей формулы для уравнения степени выше 4, которая годилась бы при любых коэффициентах уравнения, вообще не существует. Да и в случае, когда такая формула существует, бывает, что от неё мало практического толку ввиду сложности получающихся выражений. Например, для решения уравнений третьей степени имеется формула Кардано, позволяющая найти корни в зависимости от коэффициентов уравнения. Для уравнения

$\displaystyle x^3+2x^2+3x+5=0$

формула Кардано даёт значение корня

\begin{multline*} x=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{125}{729}+\frac{9409}{2916}}-\frac{97}... ...rt{9909}-97)}- \sqrt[3]{\frac{1}{2}(\sqrt{9909}+97)}-2\right]. \end{multline*}


Велика ли польза непосредственно от этого результата? Пока выражение не вычислено, мы не можем сказать даже, лежит ли корень на отрезке, скажем, $ [-1;0]$. Вычислить же это выражение-- работа, вполне сравнимая по трудоёмкости с той, что требуется для приближённого решения уравнения одним из тех методов, которые мы опишем ниже. Результат же всё равно в обоих случаях получится приближённый, поскольку вычислять дроби и корни в решении, данном формулой Кардано, также придётся приближённо.


Сборник заданий по ТОЭ Теоретическим основам электротехники Примеры решений

;