Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Комплексные числа , Свойства дифференцируемых функций Примеры Кривые и поверхности

Извлечение корня из комплексного числа

    Пример 17.9   Найдите корни уравнения $ {z^4=-1}$ .
Решение. Запишем число $ -1$ в тригонометрической форме:
$\displaystyle -1=1\cdot (\cos\pi+i\sin\pi),$
то есть $ {\rho=1}$ , $ {\psi=\pi}$ . Тогда
$\displaystyle z=\sqrt[4]1\left(\cos\frac{\pi+2\pi k}4=i\sin\frac{\pi+2\pi k}4\right), k=0,1,2,3.$
При $ {k=0}$ получим:
$\displaystyle z_1=\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4=\frac{\sqrt2}2+i\frac{\sqrt2}2.$
При $ {k=1}$ получим:
$\displaystyle z_2=\cos\frac{3\pi}4+i\sin\frac{3\pi}4=-\frac{\sqrt2}2+i\frac{\sqrt2}2.$
При $ {k=2}$ получим:
$\displaystyle z_3=\cos\frac{5\pi}4+i\sin\frac{5\pi}4=-\frac{\sqrt2}2-i\frac{\sqrt2}2.$
При $ {k=3}$ получим:
$\displaystyle z_4=\cos\frac{7\pi}4+i\sin\frac{7\pi}4=\frac{\sqrt2}2-i\frac{\sqrt2}2.$
Ответ: $ {z_1=\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2}$ , $ {z_2=-\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2}$ , $ {z_3=-\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2}$ , $ {z_4=\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2}$ .         
 
 


Сборник заданий по ТОЭ Теоретическим основам электротехники Примеры решений

;