Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Комплексные числа , Свойства дифференцируемых функций Примеры Кривые и поверхности

Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа


Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат $ xOy$ . Каждому комплексному числу $ {z=a+bi}$ можно сопоставить точку с координатами $ {(a,b)}$ , и наоборот, каждой точке с координатами $ {(c,d)}$ можно сопоставить комплексное число $ {w=c+di}$ . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплекные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

        Пример 17.3   Изобразим на комплексной плоскости числа $ {z_1=2+i}$ , $ {z_2=3i}$ , $ {z_3= -3+2i}$ , $ {z_4=-1-i}$ , $ {z_5=-3}$ :
Рис.17.1.Изображение комплексных чисел точками плоскости


        

Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке $ O$ , а именно, комплексное число $ {z=a+bi}$ изображается радиус-вектором точки с координатами $ {(a,b)}$ . В этом случае изображение комплексных чисел из предыдущего примера будет таким:

Рис.17.2.Изображение комплексных чисел векторами


Отметим, что изображением суммы двух комплексных чисел $ z$ , $ w$ является вектор, равный сумме векторов, изображающих числа $ z$ и $ w$ . Иными словами, при сложении комплексных чисел складываются и векторы, их изображающие (рис. 17.3).

Рис.17.3.Изображение суммы комплексных чисел


Пусть комплексное число $ {z=a+bi}$ изображается радиус-вектором. Тогда длина этого вектора называется модулем числа $ z$ и обозначается $ \vert z\vert$ . Из рисунка 17.4 очевидно, что

$\displaystyle \vert z\vert=\sqrt{a^2+b^2}.$(17.6)
 

 

Сборник заданий по ТОЭ Теоретическим основам электротехники Примеры решений

;