Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | видеонаблюдение для дома Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Формула Тейлора Матрицы, теоремы, упражнения Матрицы

Умножение матриц

Докажем дистрибутивность умножения. Чтобы произведение $ {A(B+C)}$ было определено, матрицы $ B$ и $ C$ должны иметь размеры $ n\times k$ . Положим $ {D=B+C}$ , $ {F=A(B+C)}$ , $ {G=AB}$ , $ {H=AC}$ , $ {U=AB+AC}$ . Для доказательства равенства $ {A(B+C)=AB+AC}$ , нужно доказать, что $ {f_{ij}=u_{ij}}$ , $ {i=1,\ldots ,m}$ , $ {j=1,\dots,k}$ .

Так как $ F=AD$ , то

$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^n a_{is}d_{sj}.$
По определению суммы матриц, $ d_{sj}=b_{sj}+c_{sj}$ . Следовательно,
$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^na_{is}(b_{sj}+c_{sj}).$ (14.7)

С другой стороны,
$\displaystyle u_{ij}=g_{ij}+h_{ij},\quad g_{ij}=\sum_{s=1}^n a_{is}b_{sj}, \quad h_{ij}=\sum_{s=1}^n a_{is}c_{sj}.$
Тогда
$\displaystyle h_{ij}=\sum_{s=1}^na_{is}b_{sj}+\sum_{s=1}^na_{is}c_{sj}= \sum_{... ..._{is}b_{sj}+a_{is}c_{sj}\right)= \sum_{s=1}^na_{is}\left(b_{sj}+c_{sj}\right).$
Сравнивая полученный результат с(14.7), получаем $ f_{ij}=u_{ij}$ . Первое равенство в свойстве дистрибутивности доказано. Второе равенство доказывается аналогично.

Докажем первое равенство в свойстве 4. Чтобы произведение $ EA$ было определено, матрица $ E$ должна иметь порядок $ m$ . Пусть $ {C=EA}$ . Тогда

$\displaystyle c_{ij}=\sum_{s=1}^m{\delta}_s^ia_{sj},$
где $ {\delta}_s^i$ -- символ Кронекера . Сумма справа имеет вид
$\displaystyle c_{ij}=0\cdot a_{1j}+\ldots+0\cdot a_{i-1,j}+1\cdot a_{ij}+0\cdot a_{i+1,j} +\ldots+0\cdot a_{mj}=a_{ij}.$
Таким образом $ C=A$ , первое равенство в свойстве 4 доказано. Второе равенство доказывается аналогично.
Замечание 14.4 Из ассоциативности умножения матриц следует, что если произведение содержит три и более сомножителей, то его можно записывать без использования скобок. Например, $ ABC$ или $ ABCD$ . Эта кажущаяся очевидной запись произведения верна не для всяких математических объектов. Действительно, в силу предложения 10.23, для векторного произведения векторов запись $ {{\bf a}\times {\bf b}\times {\bf c}}$ неприемлема, так как результат вычисления этого произведения зависит от расстановки скобок.
Замечание 14.5 Свойство дистрибутивности позволяет раскрывать скобки в матричных выражениях. Но нужно обратить внимание, что, раскрывая скобки, нельзя менять порядок сомножителей.
Замечание 14.6 Свойство 4 объясняет происхождение названия "единичная" матрица. В умножении матриц единичная матрица ведет себя так же, как число 1 при умножении чисел.

Упражнение14.4.6. Докажите, что произведение двух верхних треугольных матриц одного порядка является верхней треугольной матрицей того же порядка. Докажите аналогичное утверждение для нижних треугольных матриц.

Упражнение14.4.7. По определению считается, что $ A^n=\underbrace{A\cdot\ldots\cdot A}_n$ . Покажите, что для матриц формула $ {(A+B)^2=A^2+2AB+B^2}$ не верна. Объясните почему.

 

Сборник заданий по ТОЭ Теоретическим основам электротехники Примеры решений

;