Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Пределы Матанализ Производные и дифференциалы Матанализ


Инвариантность дифференциала

Рассмотрим функцию $ y=f(u)$. Если предположить, что $ u$ -- независимая переменная, то

$\displaystyle dy=df(u;du)=f'_u(u)du.$

Если же рассматривать переменную $ u$ как промежуточный аргумент, зависящий от независимого переменного $ x$, то есть $ u={\varphi}(x)$, то $ y=f({\varphi}(x))$ -- это композиция, и дифференциал $ dy$ можно найти, применив формулу для производной сложной функции:

Введение в цифровую электронику

$\displaystyle dy{=}d(f\circ{\varphi})(x;dx)=(f\circ{\varphi})'_xdx= \Bigl(f'_u... ...phi}'(x)\Bigr)dx= f'_u({\varphi}(x))\Bigl({\varphi}'(x)dx\Bigr)=f'(u)du(x;dx),$

 

поскольку $ du(x;dx)={\varphi}'(x)dx$. Так что и в этом случае, как и в случае независимой переменной $ u$, верна формула $ dy=f'(u)du$, только теперь $ du$ понимается как дифференциал функции, а не независимого переменного.

Тот факт, что во всех случаях, независимо от предположения о том, чем является переменная $ u$, формула $ dy=f'(u)du$ имеет место, называется инвариантностью дифференциала.

Сборник заданий по ТОЭ Теоретическим основам электротехники Примеры решений

;