Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Пределы Матанализ Производные и дифференциалы Матанализ

Производная

Замечание 4.1 В числителе дроби, предельное значение которой даёт производную, стоит выражение $ {\Delta}y=y_1-y_0=f(x_1)-f(x_0)=f(x_0+h)-f(x_0)$. Оно называется приращением функции. В знаменателе стоит величина $ {\Delta}x=x_1-x_0=h$. Она называется приращением аргумента. Величина $ \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}$ называется разностным отношением Условие $ h\to0$ можно, очевидно, записать в виде $ {\Delta}x\to0$ (кстати, база $ h\to0$ эквивалентна базе $ x_1\to x_0$). Тем самым определение производной можно записать в таком виде:
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}.$
От такой записи происходит обозначение производной в виде $ \dfrac{dy}{dx}(x_0)$.
Введение в цифровую электронику

Пример 4.1 Рассмотрим линейную функцию $ y=f(x)=kx+b$. Тогда $ {{\Delta}y=(k(x_0+h)+b)-(kx_0+b)=kh=k{\Delta}x}$, $ \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}=\dfrac{k{\Delta}x}{{\Delta}x}=k$ и $ f'(x_0)=\lim\limits_{{\Delta}x\to0}k=k$ при любом $ x_0$. Получаем, что для линейной функции производная в любой точке равна угловому коэффициенту $ k$. (Что неудивительно: ведь касательная к прямой, служащей графиком линейной функции,-- это та же самая прямая, а угловой коэффициент касательной равен производной!) В частности, при $ k=0$ получаем, что производная любой постоянной, то есть функции $ y=b=\mathrm{const}$, равна 0:
$\displaystyle (\mathrm{const})'=0,$(4.5)

а при $ k=1$ и $ b=0$ получаем, что
$\displaystyle x'=1.$(4.6)

Пример 4.2 Пусть $ f(x)=\vert x\vert$ и $ x_0=0$. Вычислим односторонние производные $ f'_+(0)$ и $ f'_-(0)$.
При $ h>0$ имеем $ x_0+h=h>0$ и $ f(x_0+h)=f(h)=\vert h\vert=h$. Значит, разностное отношение равно $ \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\dfrac{h-0}{h}=1$ и $ f'_+(0)=\lim\limits_{h\to0}1=1.$
При $ h<0$ имеем $ x_0+h=h<0$ и $ f(x_0+h)=f(h)=\vert h\vert=-h$. Значит, разностное отношение равно $ \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\dfrac{-h-0}{h}=-1$ и $ f'_+(0)=\lim\limits_{h\to0}(-1)=-1.$
Графически это означает следующее. Мы строим касательную к графику
$\displaystyle y=\vert x\vert=\left\{\begin{array}{ll} -x,&\mbox{ при }x<0;\\ x,&\mbox{ при }x\geqslant 0, \end{array}\right.$
в точке $ M_0=O$, сначала пользуясь секущими $ M_0M_1$ с точкой $ M_1$ правее $ M_0$. Эта касательная, как и все такие секущие, совпадают между собой и имеют уравнение $ {y=x}$, задающее прямую, наклонённую под углом $ \frac{\pi}{4}$ к оси $ Ox$ ( $ \mathop{\rm tg}\nolimits \frac{\pi}{4}=1=f'_+(0)$). Далее, мы строим касательную, пользуясь секущими $ M_0M_2$ с точкой $ M_2$ левее $ M_0$. Все такие секущие и касательная, по ним построенная, совпадают между собой и имеют уравнение $ {y=-x}$, задающее прямую, наклонённую под углом $ -\frac{\pi}{4}$ к оси $ Ox$ ( $ \mathop{\rm tg}\nolimits (-\frac{\pi}{4})=-1=f'_-(0)$).
Рис.4.4.График $ y=\vert x\vert$ имеет излом при $ x=0$

Таким образом, неравенство левой и правой производной выражает тот геометрический факт, что линия $ y=\vert x\vert$ имеет при $ x=0$ излом под углом $ \frac{\pi}{2}$ и не имеет общей касательной сразу к двум сторонам этого угла.

Покажем теперь, что дифференцируемая функция не может быть разрывной.

Сборник заданий по ТОЭ Теоретическим основам электротехники Примеры решений

;