Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования Высшая математика в примерах

Гиперболоиды

        Определение 13.4   Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1,$(13.6)

где $ a$ , $ b$ , $ c$  -- положительные числа.         

Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Это уравнение на плоскости $ xOy$ задает эллипс с полуосями $ a$ и $ b$ (рис. 13.8). Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.$

Это уравнение гиперболы на плоскости $ yOz$ , где действительная полуось равна $ b$ , а мнимая полуось равна $ c$ . Построим эту гиперболу (рис. 13.8).




Рис.13.8.Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями


Сечение плоскостью $ xOz$ также является гиперболой с уравнением

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.$

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью $ yOz$ (рис. 13.9).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями $ {z=\pm h}$ , $ h>0$ . Уравнения этих линий

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1+\dfrac{h^2}{c^2},\\ z=\pm h. \end{array}\right.$

Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2\left(1+\frac{h^2}{c^2}\right)}+ \frac{y^2}{b^2\left(1+\frac{h^2}{c^2}\right)}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$(13.7)


где $ a_1=a\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}$ , $ b_1=b\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}$ . Уравнение (13.7) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости $ xOy$ , с коэффициентом подобия $ \sqrt{1+\frac {h^2}{c^2}}$ и полуосями $ a_1$ и $ b_1$ . Нарисуем полученные сечения (рис. 13.9).




Рис.13.9.Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений


Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на рисунке 13.10.




Рис.13.10.Однополостный гиперболоид


Если в уравнении (13.6) $ {a=b}$ , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости $ xOy$ , являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости $ yOz$ , вокруг оси $ Oz$ (рис. 13.11).




Рис.13.11.Однополостный гиперболоид вращения


Сборник заданий по ТОЭ Теоретическим основам электротехники Примеры решений

;