Функции, графики Непрерывность функций и точки разрыва Примеры

Теорема 3.9 (о достижении экстремума непрерывной функцией) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существует точка $x_*\in[a;b]$ , такая что $f(x_*)\leqslant f(x)$ при всех $x\in[a;b]$ (то есть -- точка минимума: $f(x_*)=\min\limits_{x\in[a;b]}f(x)$ ), и существует точка $x_{**}\in[a;b]$ , такая что $f(x_{**})\geqslant f(x)$ при всех $x\in[a;b]$ (то есть $x_{**}$ -- точка максимума: $f(x_{**})=\max\limits_{x\in[a;b]}f(x)$ ). Иными словами, минимальное и максимальное значения непрерывной функции на отрезке существуют и достигаются в некоторых точках и $x_{**}$ этого отрезка.

Рис.3.24.Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума

Доказательство. Так как по предыдущей теореме функция ограничена на сверху, то существует точная верхняя грань значений функции на -- число $K=\sup\limits_{x\in[a;b]}\{f(x)\}$ . Тем самым, множества $M_1=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant K-1\}$ , ${M_2=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant K-\frac{1}{2}\}}$ ,..., $M_i=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant K-\frac{1}{i}\}$ ,..., не пусты, и по предыдущей лемме в них есть наименьшие значения : $f(x_i\geqslant K-\frac{1}{i}$ , $i=1,2,\dots$ . Эти не убывают (доказывается это утверждение точно так же, как в предыдущей теореме):

$\displaystyle x_1\leqslant x_2\leqslant x_3\leqslant \dots\leqslant x_i\leqslant \dots,$

и ограничены сверху числом . Поэтому, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности, существует предел $\lim\limits_{i\to\infty}x_i=x_{**}.$ Так как $f(x_i)\geqslant K-\frac{1}{i}$ , то и

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)=f(x_{**})\geqslant \lim\limits_{i\to\infty}(K-\frac{1}{i})=K,$

по теореме о переходе к пределу в неравенстве, то есть $f(x_{**})\geqslant K$ . Но при всех $x\in[a;b]$ $f(x)\leqslant K$ , и в том числе $f(x_{**})\leqslant K$ . Отсюда получается, что $f(x_{**})=K$ , то есть максимум функции достигается в точке $x_{**}$ .

Аналогично доказывается существование точки минимума.

В этой теореме, как и в предыдущей, нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, то она может не достигать своего максимального или минимального значения на отрезке, даже будучи ограниченной. Для примера возьмём функцию

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1+x,&\mbox{ при }x\in[-1;0);\\ 0,&\mbox{ при }x\in[0;1], \end{array}\right.$

на отрезке . Эта функция ограничена на отрезке (очевидно, что $\vert f(x)\vert\leqslant 1$ ) и $\sup\limits_{x\in[-1;1]}\{f(x)\}=1$ , однако значение 1 она не принимает ни в одной точке отрезка (заметим, что , а не 1). Дело в том, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке , так что при $x\to0-$ предел не равен значению функции в точке 0. Далее, непрерывная функция, заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком (на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. В качестве примера рассмотрим функцию на интервале . Очевидно, что функция непрерывна и что $\inf\limits_{x\in(0;1)}=0$ и $\sup\limits_{x\in(0;1)}=1$ , однако ни значения 0, ни значения 1 функция не принимает ни в какой точке интервала . Рассмотрим также функцию $f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$ на полуоси $[0;+\infty)$ . Эта функция непрерывна на $[0;+\infty)$ , возрастает, принимает своё минимальное значение 0 в точке , но не принимает ни в какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом $\dfrac{\pi}{2}$ и $\sup\limits_{x\in[0;+\infty)}f(x)=\dfrac{\pi}{2}).$

Заметим, что доказанная теорема не даёт практического способа находить точки минимума и максимума функции на заданном отрезке. Такой способ мы обсудим позднее, когда изучим понятие производной. Однако теорема важна тем, что даёт нам уверенность в том, что искомый экстремум существует и мы сможем его отыскать.