Векторная алгебра Прямые линии и плоскости

Векторная алгебра

Определение вектора

Операции над векторами

Теорема Для любых векторов и любых вещественных чисел выполняются следующие свойства: (свойство коммутативности операции сложения);

Разложение вектора по базису

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

• Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .
• Найти общее решение дифференциальных уравнений .

• Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями

  Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций. Законы сохранения в ядерных реакциях Напомним, что кинематикой называют раздел механики, посвященный изучению геометрических свойств движения тел без учета действующих на тела сил. Движение любого тела в кинематике изучают по отношению к некоторой системе координат, позволяющей определить относительное положение движущегося объекта в любой момент времени.

  Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.

Рассмотрим пример на нахождение координат вектора Дана функция двух переменных: z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1, x + y = 3. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Линейная зависимость векторов Результаты расчета коммутационных схем основаны на том, что входящие линии заняты лишь на 10%, что возможно было бы в случае проектирования коммутационных схем оконечных станций или УТС.

Предложение Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима

Система координат и координаты вектора

Проекции вектора

Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций

Скалярное произведение

Теорема   Если векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами , , то

Векторное произведение Функция нескольких переменных Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Смешанное произведение

Смешанное произведение линейно по каждому аргументу

Нахождение координат вектора в произвольном базисе

Прямые линии и плоскости

Уравнение поверхности

Уравнение плоскости

Теорема Всякое уравнение(11.3), в котором , является уравнением плоскости, ортогональной вектору .

Изображение плоскости

Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля

Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю

Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю

Два коэффициента при переменных равны нулю

Угол между плоскостями

Расстояние от точки до плоскости

Прямая на плоскости

Прямая в пространстве

Замечание Если в качестве параметра взять время, то точка будет двигаться по прямой со скоростью , причем в момент времент ее положение совпадает с точкой . Вектор скорости точки совпадает с вектором p.

Основные задачи на прямую и плоскость

Пример Найдите точку пересечения прямой и плоскости .

Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между этими прямыми.

Пример Найдите точку , симметричную точке относительно прямой :