Функции и графики, нахождение корней уравнений

 

Исследование функций и построение графиков

Асимптоты графика функции

• примеры
• примеры
• примеры

Возрастание и убывание функции

Примеры Выражение для вероятности блокировки , полученное на основе вероятностного графа, построено с учетом ряда упрощающих предположений.

Пусть , ,  – множество точек из , т.е. . Построить схематично график функции   на множестве : Для функции  представить на плоскости  множество точек  ее существования; указать свойства этого множества. . Гамма пучок получается в процессе обратного комптоновского рассеянии лазерных фотонов на электронах накопителя

Понятие предела функции многих переменных (сокр. ФНП) вводится в предельной точке области определения функции. Поверхность задана уравнением z =  + xy – 5x3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Иногда удобно использовать переход от переменных  и  к полярным координатам. В частности, условие  (одновременно и независимо друг от друга) преобразуется в условие  при всяком  (независимо от ; сразу для всех ).

Экстремум функции и необходимое условие экстремума

Примеры

Достаточные условия локального экстремума

Примеры

Выпуклость функции

• Примеры
• Теорема
• Теорема
• Примеры
• Теорема
• Примеры

Общая схема исследования функции и построения её графика Производная и дифференциал Математика Примеры решения задач

Примеры

Примеры исследования функций и построения графиков

Пример  Исследуем функцию и построим её график.

Пример   Исследуем функцию и построим её график.

Пример   Исследуем функцию и построим её график.

Упражнения и задачи

Упражнение Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графиков функций: ;

Упражнение   Найдите стационарные точки функции

Приближённое нахождение корней уравнений

Кривизна плоской кривой

Кривизна графика функции

Вершины кривых

Примеры

Радиус кривизны

Упражнения

Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума

Отделение корней

Пример

Метод простого перебора

Метод половинного деления

Пример

Метод простых итераций

Теория

Теорема   Если функция имеет производную в некоторой окрестности корня уравнения , причём при , то последовательность итераций , полученных при , начиная с , сходится к корню .

Метод секущих

Метод одной касательной

Метод Ньютона (метод касательных)

Пример   Решим методом Ньютона всё то же уравнение ,

Метод хорд (метод линейной интерполяции)

Пример  Решим уравнение методом хорд.

Приближённое нахождение точки экстремума

Метод простого перебора

Метод почти половинного деления

Метод золотого сечения и метод Фибоначчи

Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной

Пример Найдём локальные экстремумы, в том числе минимальное значение, функции .

Упражнения