Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования Примеры

Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования Примеры

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Пример 19.10 Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end{array}\right).$
Решение. Составляем характеристическую матрицу ${A-{\lambda}E}$ :
$\displaystyle A-{\lambda}E=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end... ...}{ccc}1-{\lambda}&-3&4\\ 4&-7-{\lambda}&8\\ 6&-7&7-{\lambda}\end{array}\right).$
Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.
Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Находим характеристический многочлен
$\begin{multline*} \vert A-{\lambda}E\vert=\left\vert\begin{array}{ccc}1-{\lambd... ...-7-{\lambda})\big)=\\ =-{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3. \end{multline*}$

Решим характеристическое уравнение
$\displaystyle -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=0.$
Подбором находим, что один корень уравнения равен . Есть теорема, которая говорит, что если число является корнем многочлена , то многочлен делится на разность , то есть , где -- многочлен. В соответствии с этой теоремой многочлен ${-{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3}$ должен делиться на ${{\lambda}-(-1)}$ . Выделим в характеристическом многочлене этот множитель ${{\lambda}+1}$ :
$\begin{multline*} -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=(-{\lambda}^3-{\lambda}... ...+3({\lambda}+1)=\\ =({\lambda}+1)(-{\lambda}^2+2{\lambda}+3). \end{multline*}$

Находим корни трехчлена ${-{\lambda}^2+2{\lambda}+3}$ . Они равны и 3. Таким образом,
$\displaystyle -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=-({\lambda}+1)^2({\lambda}-3),$
${{\lambda}_1=-1}$ -- корень кратности 2 17.7 b, ${{\lambda}_2=3}$ -- простой корень. Итак, собственные числа матрицы равны ${{\lambda}_1=-1}$ , ${{\lambda}_2=3}$ . Найдем соответствующие им собственные векторы.
Пусть ${{\lambda}=-1}$ , тогда для собственного вектора ${\alpha}$ получаем матричное уравнение
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}2&-3&4\\ 4&-6&8\\ 6&-7&8\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ {\alpha}_3\end{array}\right)=0,$
что соответствует системе уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2+4{\alpha}_3=0,\\ ... ...2+8{\alpha}_3=0,\\ 6{\alpha}_1-7{\alpha}_2+8{\alpha}_3=0. \end{array}\right.$
Решаем ее методом Гаусса (раздел "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)"). Выписываем расширенную матрицу системы
$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 4&-6&8&0\\ 6&-7&8&0\end{array}\right).$
Первую строку, умноженную на числа и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам
$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 0&0&0&0\\ 0&2&-4&0\end{array}\right).$
Меняем местами вторую и третью строки
$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 0&2&-4&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$
Возвращаемся к системе уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2-4{\alpha}_3&0,\\ 2{\alpha}_2+4{\alpha}_3&0\end{array}\right.$
Базисный минор матрицы находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальня система содержит только одно решение. Переменные ${\alpha}_1$ и ${\alpha}_2$ оставляем в левой части, а переменное ${\alpha}_3$ переносим в правую часть
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2&-4{\alpha}_3,\\ 2{\alpha}_2&4{\alpha}_3\end{array}\right.$
Полагаем ${{\alpha}_3=1}$ , находим ${{\alpha}_2=2}$ , ${{\alpha}_1=1}$ . Итак, собственному числу ${{\lambda}_1=-1}$ соответствует собственный вектор ${{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$ .
Пусть ${{\lambda}=3}$ , тогда для собственного вектора ${\beta}$ получаем матричное уравнение
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}-2&-3&4\\ 4&-10&8\\ 6&-7&4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ {\beta}_3\end{array}\right) =0,$
что соответствует системе уравнений $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2+4{\beta}_3=0,\\ 4{\... ...beta}_2+8{\beta}_3=0,\\ 6{\beta}_1-7{\beta}_2+4{\beta}_3=0.\end{array}\right.$
Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу $\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 4&-10&8&0\\ 6&-7&4&0\end{array}\right).$
Первую строку умножаем на числа 2 и 3 и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам $\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 0&-16&16&0\\ 0&-16&16&0\end{array}\right).$
Вторую строку умножаем на и прибавляем к третьей
$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 0&-16&16&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$
Возвращаемся к системе уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2+4{\beta}_3&0,\\ -16{\beta}_2+16{\beta}_3&0\end{array}\right.$
Базисный минор матрицы находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальная система содержит только одно решение. Переменные ${\beta}_1$ и ${\beta}_2$ оставляем в левой части, а переменное ${\beta}_3$ переносим в правую часть
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2&-4{\beta}_3,\\ -16{\beta}_2&-16{\beta}_3\end{array}\right.$
Полагаем ${{\beta}_3=1}$ , находим ${{\beta}_2=1}$ , ${{\beta}_1=0.5}$ . Итак, собственному числу ${{\lambda}_1=-1}$ соответствует собственный вектор . Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу ${{\lambda}_2=3}$ соответствует собственный вектор ${{\beta}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)}$ .
Ответ: Собственные числа: ${{\lambda}_1=-1}$ , ${{\lambda}_2=3}$ , соответствующие собственные векторы: ${{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$ , ${{\beta}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)}$ .