Отделение корней Приближённое нахождение корней уравнений

Приближённое нахождение корней уравнений

Отделение корней
    Пример 9.2 Рассмотрим уравнение . Для функции ${f(x)=x^3+2x^2+3x+5}$ найдём производную . У этого квадратного трёхчлена отрицательный дискриминант: $D=4^2-4\cdot3\cdot3=-20$ , поэтому сохраняет знак коэффициента при , то есть при всех $x\in\mathbb{R}$ . Следовательно, функция возрастает на всей оси и может иметь не более одного корня. Вычислим значения в точках и : . Это значения разных знаков, поэтому корень существует и отделён на отрезке .
        Пример 9.3 Для функции найдём интервалы монотонности. Решим неравенство и получим:

$\displaystyle x\in(-\infty;-\dfrac{2}{\sqrt{3}})\cup(\dfrac{2}{\sqrt{3}};+\infty).$
На этих двух интервалах функция возрастает. Ясно, что на интервале

$\displaystyle x\in(-\dfrac{2}{\sqrt{3}};\dfrac{2}{\sqrt{3}})$
функция убывает. Найдём значения функции в точках экстремума:

$\displaystyle f(-\dfrac{2}{\sqrt{3}})= 2+\dfrac{16}{3\sqrt{3}}>0; f(\dfrac{2}{\sqrt{3}})=2-\dfrac{16}{3\sqrt{3}}=\dfrac{8(\sqrt{3}-2)}{3\sqrt{3}}<0.$ Некоторые свойства интеграла ФНП Примеры решения и оформления задач контрольной работы
Значит, на отрезке убывания $[-\dfrac{2}{\sqrt{3}};\dfrac{2}{\sqrt{3}}]$ отделён корень $x^{**}$ . Так как, очевидно, $f(x)\to-\infty$ при $x\to-\infty$ и $f(x)\to+\infty$ при $x\to+\infty$ , то имеются ещё два корня: и . Получили следующие отрезки, на которых отделены корни:

$\displaystyle x^*\in[-3;-\dfrac{2}{\sqrt{3}}]; x^{***}\in[\dfrac{2}{\sqrt{3}};3].$

Далее мы будем предполагать, что функция меняет знак при переходе через корень . Это всегда так, если корень простой, то есть если $f'(x^*)\ne0$ .