Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования Примеры

Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования Примеры

Матрица линейного преобразования
  Пример 19.5 Найдем матрицу линейного преобразования $\mathcal{A}$ из примера 19.1.
Выберем какой-нибудь базис ${e_1,\,e_2}$ . Тогда
$\displaystyle \mathcal{A}(e_1)=2e_1=2e_1+0e_2.$
Следовательно, первый столбец матрицы имеет вид $\left(\begin{array}{r}2\\ 0\end{array}\right)$ . Аналогично
$\displaystyle \mathcal{A}(e_2)=2e_2=0e_1+2e_2,$
Второй столбец матрицы имеет вид $\left(\begin{array}{r}0\\ 2\end{array}\right)$ . В итоге
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}2&0\\ 0&2\end{array}\right).$ Декартовы координаты Примеры решения и оформления задач контрольной работы

        Пример 19.6 Найдем матрицу линейного преобразования $\mathcal{A}$ из примера 19.2. Угол ${\varphi}$ возьмем равным $\frac{\pi}6$ . В качестве базиса возьмем привычный ортонормированный базис i, j.
Из рисунка 19.7 видно, что вектор ${\mathcal{A}({\bf i})}$ имеет координаты ${\cos\frac{\pi}6=\frac{\sqrt3}2}$ и ${\sin\frac{\pi}6=\frac12}$ .

Рис.19.7.Координаты образов базисных векторов при преобразовании поворота

Поэтому координатный столбец образа первого базисного вектора имеет вид $\left(\begin{array}{c}\vphantom{\dfrac11}\frac{\sqrt3}2\\ \vphantom{\dfrac11}\frac12\end{array}\right)$ . Координаты образа второго базисного вектора равны ${-\frac12}$ и ${\frac {\sqrt3}2}$ , его координатный столбец имеет вид $\left(\begin{array}{c}\vphantom{\dfrac11}-\frac12\\ \vphantom{\dfrac11}\frac{\sqrt3}2\end{array}\right)$ . В итоге получаем, что в базисе i, j матрица поворота на угол ${\frac{\pi}6}$ имеет вид
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}\vphantom{\dfrac11}\frac{\sqrt3}2&-\frac12\\ \vphantom{\dfrac11}\frac12&\frac{\sqrt3}2\end{array}\right).$