Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования Примеры

Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования Примеры

Изменение координат вектора при изменении базиса
Пример 18.4 Пусть ${L=\mathbb{R}^3}$ , то есть -- трехмерное векторное пространство. Пусть задан ортонормированный базис i, j, k. Выберем другой (новый) базис
$\displaystyle {\bf e}_1={\bf i}+{\bf j}+2{\bf k},\quad {\bf e}_2=2{\bf i}-{\bf j},\quad {\bf e}_3=-{\bf i}+{\bf j}+{\bf k}.$
Возьмем вектор ${\bf x}=6{\bf i}-{\bf j}+3{\bf k}$ . Найдем его координаты в новом базисе.
Выпишем матрицу перехода, ее столбцы -- это координаты новых базисных векторов
$\displaystyle S=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 1&-1&1\\ 2&0&1\end{array}\right).$

Пусть ${\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)$ -- координатный столбец вектора ${\bf x}$ в новом базисе. Методы интегрирования замены переменной и интегрирование по частям. Интегрирования выражений, содержащих квадратный трехчлен. Тогда

$\displaystyle \left(\begin{array}{r}6\\ -1\\ 3\end{array}\right)=S{\beta},$ (18.2)

откуда
$\displaystyle {\beta}=S^{-1}\left(\begin{array}{r}6\\ -1\\ 3\end{array}\right).$
Найдем матрицу $S^{-1}$ по формуле (14.14). Находим определитель
$\displaystyle \vert S\vert=\left\vert\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 1&-1&1\\ 2&0&1\end{array}\right\vert=-1.$
Находим алгебраические дополнения
$\begin{displaymath}\begin{array}{l}S_{11}=-1,\quad S_{12}=1,\quad S_{13}=2,\quad... ...3}=4,\quad S_{31}=1,\quad S_{32}=-2,\quad S_{33}=-3.\end{array}\end{displaymath}$
Следовательно,
$\displaystyle S^{-1}=\frac1{-1}\left(\begin{array}{rrr}-1&-2&1\\ 1&3&-2\\ 2&4&-... ...\right)= \left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ -1&-3&2\\ -2&-4&3\end{array}\right).$
Находим координаты вектора
$\displaystyle {\beta}=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ -1&-3&2\\ -2&-4&3\end{ar... ...\ -1\\ 3\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r}1\\ 3\\ 1\end{array}\right).$
Таким образом, новые координаты вектора ${\bf x}$ : ${{\beta}_1=1}$ , ${{\beta}_2=3}$ , ${{\beta}_3=1}$ , ${{\bf x}={\bf e}_1+3{\bf e}_2+{\bf e}_3}$ .
Тот же самый результат можно было получить, записав формулу (18.2) в виде системы уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}6={\beta}_1+2{\beta}_2-{\beta}_3,\\ -1={\beta}_1-{\beta}_2+{\beta}_3,\\ 3=2{\beta}_1+{\beta}_3.\end{array}\right.$
Решив эту систему, например, методом Гаусса, найдем новые координаты ${\beta}_1$ , ${\beta}_2$ , ${\beta}_3$ .