Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования Примеры

Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования Примеры

Изменение координат вектора при изменении базиса
Пусть в -мерном линейном пространстве выбран базис ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ , который мы будем для удобства называть "старый" и другой базис ${e_1',\,e_2',\ldots,\,e_n'}$ , который мы будем называть "новый". Возьмем призвольный вектор из . Его координатный столбец в старом базисе обозначим ${{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ , а в новом -- ${{\alpha}'=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1'\\ {\alpha}_2'\\ \vdots\\ {\alpha}_n'\end{array}\right)}$ . Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно "связать" друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису
$\begin{displaymath}\begin{array}{c} e_1'={\sigma}_{11}e_1+{\sigma}_{21}e_2+\ldo... ...a}_{1n}e_1+{\sigma}_{2n}e_2+\ldots+{\sigma}_{nn}e_n.\end{array}\end{displaymath}$
Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса
$\displaystyle S=\left(\begin{array}{cccc} {\sigma}_{11}&{\sigma}_{12}&\ldots&{... ...sfor{4}\\ {\sigma}_{n1}&{\sigma}_{n2}&\ldots&{\sigma}_{nn}\end{array}\right).$

Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому. С помощью дифференциала приближенно вычислить величину и оценить допущенную погрешность.

Замечание 18.1 Матрица перехода всегда невырождена, то есть ${\vert S\vert\ne0}$ .
Предложение 18.5 Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой

$\displaystyle {\alpha}=S{\alpha}',$

(18.1)

где справа стоит произведение матрицы перехода на матрицу-столбец.
Доказательство. Так как ${\alpha}'$ -- координатный столбец вектора в новом базисе, то
$\displaystyle a=\sum_{j=1}^n{\alpha}_j'e_j'.$
Заменив векторы их разложениями по старому базису, получим
$\displaystyle a=\sum_{j=1}^n{\alpha}_j'({\sigma}_{1j}e_1+{\sigma}_{2j}e_2+\ldot... ..._{i=1}^n{\sigma}_{ij}e_i=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n {\alpha}_j'{\sigma}_{ij}e_i.$
В силу предложения 14.3 изменим порядок суммирования
$\displaystyle a=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{\alpha}_j'{\sigma}_{ij}e_i=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^n {\sigma}_{ij}{\alpha}_j'\right)e_i.$
Здесь мы получили разложение вектора по старому базису, причем координата вектора с номером равна $\displaystyle \sum_{j=1}^n{\sigma}_{ij}{\alpha}_j'$ . Элемент с номером столбца $S{\alpha}'$ будет иметь такой же вид. Следовательно, формула (18.1) доказана.