Функции и графики, нахождение корней уравнений Упражнения и примеры

Упражнение 7.6 Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графиков функций: а) $f(x)=\dfrac{1-x^3}{x^2+x}$ ;

б) $f(x)=\dfrac{x^2+5x+6}{3x-1}$ ;

в) $f(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}.$

Ответы: а)

при $x\to\pm\infty$ ; б) $y=\frac{1}{3}x+\frac{16}{9}$ при $x\to\pm\infty$ ; в)

при $x\to-\infty$ и

при $x\to+\infty$ .

Упражнение 7.7 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции ${f(x)=\dfrac{x^2-3}{x^2+4}}$ на отрезке

Подсказка:

Найдите стационарные точки функции, попадающие на заданный отрезок, и добавьте к ним концы отрезка. В одной из этих точек функция будет принимать наибольшее, а в другой -- наименьшее значение.

Решение:

Поскольку знаменатель дроби

положителен при всех

, функция непрерывна на всей оси

. Поэтому все её критические точки -- стационарные. Найдём производную:

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x(x^2+4)-2x(x^2-3)}{(x^2+4)^2}=\dfrac{14x}{(x^2+4)^2}.$

Очевидно, что производная обращается в 0 только в одной точке

; эта стационарная точка лежит на заданном отрезке

Вычисляем значения функции в этой стационарной точке и в концах отрезка:

$\displaystyle f(-1)=-\frac{2}{5}=-0.2; f(0)=-\frac{3}{4}=-0.75; f(4)=\frac{13}{20}=0.65.$

Выбирая из этих значений наибольшее и наименьшее, получаем ответ:

Ответ:

$\displaystyle f_{\max}=\max_{x\in[-1;4]}f(x)=f(4)=0.65; f_{\min}=\min_{x\in[-1;4]}f(x)=f(0)=-0.75.$

Упражнение 7.8 Найдите наибольшие и наименьшие значения функций на заданных отрезках:

а)

на отрезке

;

б) $f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$ на отрезке

;

в) $f(x)=\cos x+x\sin x$ на отрезке $[-\pi;\pi]$ .

Ответы: а) $f_{\max}=f(-1)=f(3)=4; f_{\min}=f(0)=f(2)=-5$ ;

б) $f_{\max}=f(\sqrt{e})=\dfrac{1}{2e}; f_{\min}=f(1)=0$ ;

в) $f_{\max}=f(-\frac{\pi}{2})=f(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}; f_{\min}=f(-\pi)=f(\pi)=-1$ .

Упражнение 7.9 Найдите интервалы возрастания и убывания, а также точки локального экстремума функции

Подсказка:

Найдите производную и решите неравенства

Решение:

Производная равна

. Неравенство

имеет решение $x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$ ; на этих двух интервалах

возрастает. Неравенство

имеет решение $x\in(0;4)$ ; на этом интервале

убывает. Следовательно, точка

-- точка локального максимума, а точка

-- точка локального минимума.

Ответ:

Интервалы возрастания: $(-\infty;0)$ и $(4;+\infty)$ ; интервал убывания:

; точка локального максимума:

, точка локального минимума:

Упражнение 7.10 Найдите интервалы возрастания и убывания и точки локальных экстремумов функций:

а)

;

б) $f(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x+2}$ ;

в) $f(x)=\dfrac{x}{\ln x+1}$ .

Ответы: а) интервалы возрастания:

и $(2;+\infty)$ ; интервалы убывания: $(-\infty;-2)$ и

; точка локального максимума

; точки локального минимума $x=\pm2$ ;

б) интервалы возрастания: $(-\infty;-2-\sqrt{5})$ и $(-2+\sqrt{5};+\infty)$ ; интервалы убывания: ${(-2-\sqrt{5};-2)}$ и ${(-2;-2+\sqrt{5})}$ ; точка локального максимума $x=-2-\sqrt{5}$ ; точка локального минимума $x=-2+\sqrt{5}$ ;