Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования Примеры Кривые и поверхности

Базис и размерность пространства

Так как в линейном пространстве векторы можно складывать и умножать на числа, то из них можно составлять линейные комбинации и можно ввести понятия линейной зависимости и линейной независимости системы векторов так же, как это было сделано в разделе "Линейная зависимость векторов". На случай произвольного линейного пространства определения 10.14 и 10.15 переносятся дословно. Предложения 10.6, 10.7, 10.8 переносятся дословно вместе с доказательствами.

На основе линейной зависимости в линейном пространстве вводится определение базиса. Оно почти дословно совпадает с определением 10.16.

        Определение 18.2   Базисом линейного пространства $ L$ называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства $ L$ является линейной комбинацией этих векторов.         

В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.

        Пример 18.2   Пусть $ L$ -- линейное пространство всех многочленов с веществеными коэффициентами. Покажем, что в этом пространстве базис не существует.
Предположим противное. Пусть векторы $ a_1,\,a_2,\ldots,\,a_k$ образуют в этом пространстве базис.
Каждый вектор пространства $ L$  -- это многочлен. Пусть
$\displaystyle a_1={\alpha}_{10}+{\alpha}_{11}t+\ldots+{\alpha}_{1m_1}t^{m_1},$   
$\displaystyle a_2={\alpha}_{20}+{\alpha}_{21}t+\ldots+{\alpha}_{2m_2}t^{m_2},$   
$\displaystyle \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$   
$\displaystyle a_k={\alpha}_{k0}+{\alpha}_{k1}t+\ldots+{\alpha}_{km_k}t^{m_k}.$   
 

Из степеней многочленов $ m_1,\,m_2,\ldots,\,m_k$ выберем наибольшую и обозначим ее буквой $ m$ . Возьмем многочлен $ {a=0+0t+\ldots+0t^m+t^{m+1}}$ . Так как $ {a\in L}$ и векторы $ {a_1,\,a_2,\ldots,\,a_k}$ образуют базис, то $ {a={\gamma}_1 a_1+\ldots+{\gamma}_ka_k}$ , где $ {{\gamma}_1,\,{\gamma}_2,\ldots,\,{\gamma}_k}$  -- вещественные числа. Следовательно, $ a$ является суммой многочленов степеней меньших, чем $ {m+1}$ , и поэтому его степень должна быть меньше, чем $ {m+1}$ . С другой стороны, по определению, многочлен $ a$ имеет степень $ {m+1}$ . Получили противоречие. Значит, предположение о существовании базиса неверно.         
       

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"
Типовой расчет

  • Функции и их графики Непрерывность функций и точки разрыва
  • Производные и дифференциалы Пределы Матанализ
  • Формула Тейлора Матрицы, примеры выполнения заданий
  • Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
  • Функции и графики, нахождение корней уравнений
  • Векторная алгебра Прямые линии и плоскости
  • Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования
  • Комплексные числа , Свойства дифференцируемых функций

    •  

    ;