Векторная алгебра Прямые линии и плоскости Примеры

Проекции вектора

Предложение 10.14   Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций.

 

       

Если проекции слагаемых одного знака, то доказательство очевидно из рис. 10.21.

Рис.10.21.Проекция суммы

Случай проекций разных знаков читатель может проанализировать самостоятельно или прочесть в одном из учебников из списка литературы.

 

 

        Предложение 10.15   Проекция на ось вектора, умноженного на число, равна произведению проекции вектора на это число.

 

       

Доказательство очевидно из подобия треугольников на рис. 10.22.

Рис.10.22.Проекция произведения вектора на число

 

 

        Определение 10.23   Проекцией вектораbна векторa, , будем называть проекцию вектора b на любую ось, параллельную вектору a и имеющую направление, совпадающее с направлением вектора a.        

 

Проекция вектора b на вектор a обозначается .

Очевидно, что , где  -- угол между векторами a и b.

 

 

        Предложение 10.16   Проекции вектора на координатные оси равны коодинатам вектора.

 

       

 

        Определение 10.24   Косинусы углов, образованных вектором с осями координат, называются направляющими косинусами вектора.        

 

Рис.10.23.Направляющие косинусы вектора

В соответствии с рис. 10.23, направляющими косинусами вектора a являются , , .

 

        Предложение 10.17   Координаты вектора равны его направляющим косинусам, умноженным на длину вектора. Если вектор единичный, то его координатами служат направляющие косинусы.

Доказательство  предложений 10.16, 10.17 предоставляется в качестве упражнения читателю.