Функции и графики, нахождение корней уравнений

Примеры исследования функций и построения графиков
Пример 7.39 Построим график функции .
1). Функция -- многочлен, а у всех многочленов область определения -- вся вещественная ось: $\mathcal{D}(g)=\mathbb{R}$ .
2). Многочлены бывают чётными функциями, если содержат только чётные степени переменного , и нечётными функциями, если содержат только нечётные степени . Для функции это не так, значит, не является ни чётной, ни нечётной функцией.
Периодическими из всех многочленов бывают только постоянные, то есть не зависящие от ; в нашем случае это не так, поэтому -- не периодическая функция.
3). Вертикальных асимптот график не имеет, поскольку область определения не имеет граничных точек. (У графиков многочленов вообще не бывает вертикальных асимптот.)
4). Поскольку многочлен имеет степень 3 (а не 1 или 0), то его график не имеет наклонных или горизонтальных асимптот.
5). Пересечение с осью найдём, вычислив значение при : имеем ${g(0)=2\cdot0^3-3\cdot0^2+0+5=5}$ . Для нахождения пересечений графика с осью следует решить уравнение . Целых корней это уравнение не имеет. Вычисляя значения в некоторых целых точках, например,
$\displaystyle g(-2)=-25; g(-1)=-1; g(0)=5; g(1)=5; g(2)=11,$
мы начинаем подозревать, что уравнение имеет только один корень , лежащий на интервале , причём ближе к точке , чем к 0. (Действительно, если применить какой-либо из методов приближённого нахождения корней алгебраического уравнения, мы получим, что $x_0\approx-0.919$ . Эти методы мы изучим ниже, в главе 9. А пока нам достаточно того, что $x_0\in(-1;0)$ .) Заметим, что меняет знак с на при переходе через точку .
6). Производная данной функции равна . Найдём интервалы возрастания функции, решая неравенство . Корни квадратного трёхчлена -- это $\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{6}\approx0.5\pm0.285$ , значит, решением неравенства служит объединение интервалов $(-\infty;\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6})\approx(-\infty;0.215)$ и $(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6};+\infty)\approx(0.785;+\infty)$ . На каждом из этих интервалов функция возрастает. Интервалы убывания задаются обратным неравенством , то есть . Его решением служит интервал $(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}) \approx(0.215;0.785)$ . На этом интервале функция убывает.
В точке $x_1=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}\approx0.215$ возрастание функции сменяется убыванием, значит, -- точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно
$\displaystyle g(x_1)=\frac{2\sqrt{3}}{9}+5\approx5.38.$
В точке $x_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}\approx0.785$ убывание функции сменяется возрастанием, значит, -- точка локального минимума. Значение функции в этой точке равно
$\displaystyle g(x_2)=-\frac{2\sqrt{3}}{9}+4.5\approx4.12.$
Как мы видим, на участке убывания значения функции изменяются от до и остаются положительными. Это доказывает, что сама функция действительно имеет только один корень.
7). Вторая производная функции равна . Для отыскания интервала выпуклости решим неравенство , то есть , откуда $x>\frac{1}{2}$ . Значит, функция выпукла на интервале $(\frac{1}{2};+\infty)$ . Обратное неравенство даёт нам интервал вогнутости; очевидно, это $(-\infty;\frac{1}{2})$ . В точке $\frac{1}{2}$ направление выпуклости меняется, следовательно, $\frac{1}{2}$ -- это точка перегиба. Значение функции в этой точке равно $g(\frac{1}{2})=5$ .
8). С учётом предыдущих семи пунктов строим график функции .

Рис.7.46.График функции