Функции и графики, нахождение корней уравнений Упражнения и примеры

Теорема 7.13 Пусть функция имеет на интервале производную . Функция выпукла на тогда и только тогда, когда график лежит (при $x\in(a;b)$ ) не ниже любой касательной , проведённой при любом $x_0\in(a;b)$ , то есть выполняется неравенство

$\displaystyle f(x)\geqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

при всех $x,x_0\in(a;b)$ .

Рис.7.39.График выпуклой функции идёт не ниже любой своей касательной

        Доказательство.     Применяя формулу конечных приращений, получаем:

$\displaystyle (f(x)-f(x_0))-f'(x_0)(x-x_0)=f'(c)(x-x_0)-f'(x_0)(x-x_0)= (f'(c)-f'(x_0))(x-x_0),$

где лежит между и . Но по теореме 7.10 производная выпуклой функции не убывает, так что $f'(c)-f'(x_0)\geqslant 0$ при и $f'(c)-f'(x_0)\leqslant 0$ при . В любом случае получаем, что произведение неотрицательно, откуда $f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\geqslant 0$ . Отсюда следует неравенство из утверждения теоремы.

        Замечание 7.13 Очевидно, что для вогнутых функций верно аналогичное утверждение:

дифференцируемая функция вогнута на интервале тогда и только тогда, когда её график идёт не выше любой касательной:

$\displaystyle f(x)\leqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

при всех $x,x_0\in(a;b)$ .

Рис.7.40.График вогнутой функции идёт не выше любой своей касательной

        Определение 7.6 Точкой перегиба функции называется такая точка , которая разделяет два интервала и , на одном из которых функция является выпуклой, а на другом -- вогнутой.

Рис.7.41.Точка перегиба разделяет интервалы с разным направлением выпуклости

В случае, если вторая производная непрерывна, в точке перегиба непременно должно выполняться равенство , поскольку, согласно теореме 7.11, должна менять знак при переходе через точку . Верно даже несколько более сильное утверждение:

        Теорема 7.14 Пусть -- точка перегиба функции , причём существует . Тогда .

        Доказательство.     Из существования следует, что существует при из некоторого интервала $(x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ , окружающего точку . По предположению, при достаточно малом ${\delta}>0$ , на интервалах $(x_0-{\delta};x_0)$ и $(x_0;x_0+{\delta})$ направление выпуклости функции разное; пусть для определённости выпукла на $(x_0-{\delta};x_0)$ и вогнута на $(x_0;x_0+{\delta})$ . Тогда функция не убывает на $(x_0-{\delta};x_0)$ и не возрастает на $(x_0;x_0+{\delta})$ , согласно теореме 7.10 и замечанию 7.9. Значит, $\dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}\geqslant 0$ при $x\in(x_0-{\delta};x_0)$ и $\dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}\leqslant 0$ при $x\in(x_0;x_0+{\delta})$ . Переходя в этих двух неравенствах к пределу при базе $x\to x_0-$ и $x\to x_0+$ соответственно и замечая, что оба предела равны , получаем, что одновременно $f''(x_0)\geqslant 0$ и $f''(x_0)\leqslant 0$ . Значит, , что и требовалось доказать.

Заметим однако, что не любая точка , такая что , обязана быть точкой перегиба: при переходе через такую точку функция может и не сменить знак, тогда перегиба в точке нет.

Функции и графики, нахождение корней уравнений

Выпуклость функции