Функции и графики, нахождение корней уравнений Упражнения и примеры

        Теорема 7.9 Пусть функция определена на интервале и -- некоторая точка этого интервала. При всех $x\ne x^*,\; x\in(a;b)$ определено разностное отношение -- функция

$\displaystyle t_{x^*}(x)=\dfrac{f(x)-f(x^*)}{x-x^*}.$

Тогда функция выпукла на интервале в том и только том случае, когда функция $t_{x^*}(x)$ не убывает на множестве $(a;x^*)\cup(x^*;b)$ .

        Замечание 7.7 Функция $t_{x^*}(x)$ равна тангенсу угла наклона хорды, одним из концов которой служит фиксированная точка , а вторым концом -- переменная точка графика . Тем самым, теорема означает, что у выпуклых функций угловые коэффициенты хорд графика не убывают, где бы ни был фиксирован один из концов хорды.

Рис.7.33.Угловой коэффициент хорды с фиксированным концом возрастает, если функция выпукла

Заметим также, что функция $t_{x^*}(x)$ имеет следующее свойство:

$\displaystyle t_{y}(x)=t_x(y).$ (7.6)

Действительно,

$\displaystyle t_y(x)=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}=t_x(y).$



        Доказательство теоремы 7.9.     Выберем любые две точки $x_1,x_2\in(a;b)$ . Предположим, что (случаи иного расположения точек рассматриваются аналогично). Поскольку $x_1\in(x^*;x_2)$ , то $x_1={\alpha}x^*+(1-{\alpha})x_2$ при некотором ${\alpha}\in(0;1)$ . Нетрудно видеть, что тогда ${\alpha}=\dfrac{x_2-x_1}{x_2-x^*}$ и $1-{\alpha}=\dfrac{x_1-x^*}{x_2-x^*}$ . Поэтому из выпуклости функции следует, что

$\displaystyle f(x_1)=f({\alpha}x^*+(1-{\alpha})x_2)\leqslant \dfrac{x_2-x_1}{x_2-x^*}f(x^*)+\dfrac{x_1-x^*}{x_2-x^*}f(x_2).$

Умножая на , получаем:

$\displaystyle (x_2-x^*)f(x_1)\leqslant (x_2-x_1)f(x^*)+(x_1-x^*)f(x_1).$

Теперь вычтем из обеих частей неравенства. Получим, после раскрытия скобок в правой части и приведения подобных членов:

$\displaystyle (x_2-x^*)(f(x_1)-f(x^*))\leqslant (x_1-x^*)(f(x_2)-f(x^*)).$

Теперь разделим обе части неравенства на и и получим:

$\displaystyle \dfrac{f(x_1)-f(x^*)}{x_1-x^*}\leqslant \dfrac{f(x_2)-f(x^*)}{x_2-x^*},$

то есть

$\displaystyle t_{x^*}(x_1)\leqslant t_{x^*}(x_2).$

Это означает, что функция $t_{x^*}$ -- неубывающая.

Доказательство того, что из неубывания функции $t_{x^*}$ следует выпуклость функции , можно провести, если проделать все преобразования в обратном порядке.

        Замечание 7.8 Очевидно, что аналогично доказывается следующее утверждение:

функция вогнута на интервале тогда и только тогда, когда при любом $x^*\in(a;b)$ функция $t_{x^*}(x)$ не возрастает на множестве $(a;x^*)\cup(x^*;b)$ .

Доказанная теорема содержит хотя и важный, но всё же вспомогательный результат. На её основании мы получим следующее утверждение, которое уже гораздо удобнее применять на практике для исследования выпуклости.

Функции и графики, нахождение корней уравнений

Выпуклость функции