Функции и графики, нахождение корней уравнений Упражнения и примеры

Пример 7.28 Рассмотрим функцию $f(x)=\vert x\vert$ . Эта функция выпукла на любом интервале оси . Действительно, если интервал не содержит точки 0, то графики и $\ell(x)$ на таком интервале совпадают, откуда следует, что неравенство (7.4) выполнено и функция выпукла. (Заметим, что на таком интервале верно и неравенство (7.5), так что одновременно и выпукла, и вогнута на таком интервале.) Если же точка 0 лежит в интервале , то и , и тот факт, что хорда лежит выше графика, геометрически очевиден.

Рис.7.31.Хорда лежит выше графика $y=\vert x\vert$

Пример 7.29 Рассмотрим функцию ; её график -- парабола .

Рис.7.32.Функция -- выпуклая

Мы привыкли изображать параболу именно так, что очевидно: хорда идёт выше графика на любом интервале . Подтвердим теперь это свойство формальной выкладкой. Имеем:

$\displaystyle f(x_{{\alpha}})=({\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0)^2= {\alpha}^2x_1^2+2{\alpha}(1-{\alpha})x_1x_0+(1-{\alpha})^2x_0^2\leqslant$
$\displaystyle \leqslant {\alpha}^2x_1^2+{\alpha}(1-{\alpha})(x_1^2+x_0^2)+(1-{\alpha})^2x_0^2= {\alpha}x_1^2+(1-{\alpha})x_0^2=\ell(x_{{\alpha}}).$

Здесь мы использовали известное неравенство: $2x_1x_0\leqslant x_1^2+x_0^2$ при всех $x_1,x_0\in\mathbb{R}$ .

Функции и графики, нахождение корней уравнений

Выпуклость функции