Комплексные числа , Свойства дифференцируемых функций Примеры

Корни многочленов
В разделе "Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами" мы видели, что в поле комплексных чисел любой квадратный трехчлен с вещественными коэффициентами имеет корни, этих корней два, если дискриминант отличен от нуля, и один в противном случае. Теперь, когда мы имеем возможность извлекать корни из комплексных чисел, мы можем найти корни квадратного трехчлена с комплексными коэффициентами, то есть решить уравнение
$\displaystyle ax^2+bx+c=0,$
где , , -- комплексные числа, ${a\ne0}$ .
Выполняя те же действия, что и в разделе "Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами", приходим к уравнению
$\displaystyle \left(x-\frac b{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}=0.$
Обозначив $z=x-\frac b{2a}$ , ${d=\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$ , получим уравнение ${z^n=d}$ , где . Такое уравнение мы умеем решать. В результате получатся два корня, если ${d\ne0}$ , и один, если . Так как тогда и только тогда, когда дискриминант ${D=b^2-4ac}$ равен нулю, то количество корней определяется тем же условием: равен дискриминант нулю или нет. Кроме того, заметим, что если ${h^2=D}$ , то ${\left(\dfrac h{2a}\right)^2=\dfrac D{4a^2}}$ и ${\left(-\dfrac h{2a}\right)^2=\dfrac D{4a^2}}$ . Поэтому корни уравнения ${ax^2+bx+c=0}$ можно записать в виде
Введение в цифровую электронику

$\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a},\quad x_2=\frac{-b-\sqrt D}{2a},$

(17.16)

где $\sqrt D$ означает одно из решений (любое!) уравнения ${y^2=D}$ . Отметим, что формулы (17.5) также можно записать в виде (17.16), так как при вещественном выполнено ${\sqrt D=\sqrt{\vert D\vert}\,i}$ .