Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Комплексные числа , Свойства дифференцируемых функций Примеры Кривые и поверхности

Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами

Вернемся к задаче, поставленной в начале главы: можно ли в поле комплексных чисел решить любое квадратное уравнение (пока только с вещественными коэффициентами)? Для квадратного уравнения $ {x^2+1=0}$ мы одно решение знаем: $ {x_1=i}$ . Очевидно, что $ {(-i)^2=i^2=-1}$ , поэтому $ {x_2=-i}$ . Следовательно, оба корня такого уравнения известны.

        Замечание 17.2   Числа $ i$ и $ -i$ в поле комплексных чисел абсолютно равноправны. Если бы число $ -i$ обозначить $ i'$ и построить с этим обозначением новое поле комплексных чисел, то оно будет в точности таким же, как и исходное.         

Рассмотрим уравнение $ {x^2+c=0}$ , где $ c$  -- вещественное положительное число. Легко проверить, что его корни $ {x_1=\sqrt c\,i}$ , $ {x_2=-\sqrt c\,i}$ , где $ \sqrt c$  -- обычный арифметический корень.

Решим уравнение $ {ax^2+bx+c=0}$ , где $ a,\,b,\,c$  -- вещественные числа, $ {a\ne0}$ , $ {D=b^2-4ac<0}$ . Для этого выделим в правой части полный квадрат (см.  пример 12.1):

$\displaystyle a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}=0.$

Откуда

$\displaystyle \left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}=0.$

Если $ {x+\dfrac b{2a}}$ обозначить $ y$ , а $ \dfrac{4ac-b^2}{4a^2}$ обозначить $ d$ , то получим уравнение предыдущего типа, его решения:

$\displaystyle y_1=\sqrt{\frac{4ac-b^2}{4a^2}}i=\frac{\sqrt{\vert D\vert}}{2a}i,\quad y_2=-\frac{\sqrt{\vert D\vert}}{2a}i.$

Поэтому

$\displaystyle x_{1,2}+\frac b{2a}=\pm\frac{\sqrt{\vert D\vert}}{2a}i,$

то есть

$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\vert D\vert}i}{2a}.$

Итак, если дискриминант $ D$ отрицательный, то корни уравнения находятся по формулам:

$\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{\vert D\vert}i}{2a},\quad x_2=\frac{-b-\sqrt{\vert D\vert}i}{2a}.$(17.5)
 


        Пример 17.2   Решите уравнение $ {x^2+2x+5=0}$ .
Решение. Находим дискриминант:
$\displaystyle D=4-20=-16,\quad \vert D\vert=16.$
Находим корни:
$\displaystyle x_1=\frac{-2+\sqrt{16}i}2=-1+2i,\quad x_2=\frac{-2-\sqrt{16}i}2=-1-2i.$
Ответ: $ {x_1=-1+2i,\quad x_2=-1-2i}$ .         

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"
Типовой расчет

  • Функции и их графики Непрерывность функций и точки разрыва
  • Производные и дифференциалы Пределы Матанализ
  • Формула Тейлора Матрицы, примеры выполнения заданий
  • Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
  • Функции и графики, нахождение корней уравнений
  • Векторная алгебра Прямые линии и плоскости
  • Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования
  • Комплексные числа , Свойства дифференцируемых функций

    •  

    ;