Комплексные числа , Свойства дифференцируемых функций Примеры

Пример 5.10 Рассмотрим функцию $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 1,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$ Эта функция непрерывна справа в точке

. Найдём её производную справа в точке 0, сделав при этом замену $z=\dfrac{1}{h}$ :

$\displaystyle f'(0)=\lim_{h\to0+}\dfrac{\mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{h}-1... ...p{\rm th}\nolimits z-1}{\dfrac{1}{z}}= \lim_{z\to+\infty}\dfrac{-2z}{e^z+1}=0,$

поскольку, как мы выяснили выше, экспонента

растёт быстрее

при $z\to+\infty$ .

Во всех остальных точках $x\ne0$ производная вычисляется с помощью правил дифференцирования:

$\displaystyle f'(x)=(\mathop{\rm th}\nolimits z)'_z \cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}... ...t(-\dfrac{1}{x^2}\right)\cdot \dfrac{4}{(e^{\frac{1}{x}}+e^{-\frac{1}{x}})^2}.$

При $x\to0+$ это выражение имеет предел

$\displaystyle \lim_{x\to0+}f'(x)= \lim_{x\to0+}\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\cd... ...}{x}}+e^{-\frac{1}{x}})^2}= -4\lim_{z\to+\infty}\dfrac{z^2}{(e^z+e^{-z})^2}=0,$

поскольку степень в числителе дроби имеет меньший порядок роста, чем экспонента в знаменателе.

Таким образом, получили, что $\lim\limits_{x\to0+}f'(x)=f'(0)$ , то есть производная оказалась непрерывной справа в точке

Из того, что функция $\mathop{\rm th}\nolimits$ -- нечётная, нетрудно найти, чему будет равна производная слева в точке 0 у функции

, если её переопределить в нуле так, чтобы она оказалась непрерывной слева. У этой функции производная слева также будет существовать во всех точках $x\in\mathbb{R}$ , причём эта левая производная будет всюду непрерывна слева.

Пример 5.11 Рассмотрим функцию

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

При $x\ne0$ её производная равна, как нетрудно подсчитать,

$\displaystyle f'(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot\dfrac{2}{x^3}.$

При

мы найдём производную, исходя из определения:

$\displaystyle f'(0)=\lim_{h\to0}\dfrac{e^{-\frac{1}{h^2}}}{h}= \lim_{z\to\infty}\dfrac{h}{e^{h^2}}=0$

(мы применили формулу $f'(0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}$ , а затем сделали замену $z=\dfrac{1}{h}$ ). Легко видеть, что предел производной также будет равен 0:

$\displaystyle \lim_{x\to0}f'(x)= \lim_{x\to0}e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot\dfrac{2}{x^3} =\lim_{z\to\infty}\dfrac{2z^3}{e^{z^2}}=0,$

так как $e^{z^2}$ при $z\to\infty$ растёт быстрее любой степени. Таким образом,

-- функция, непрерывная на всей числовой оси:

$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot\dfrac{2}{x^3},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

Аналогично можно убедиться, что

$\displaystyle f''(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot\left(\df... ...t),& \mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0,\mbox{ ---} \end{array}\right.$

непрерывная на $\mathbb{R}$ функция, и вообще, при любом номере

производная $f^{(n)}(x)$ имеет вид

$\displaystyle f^{(n)}(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot P\le... ...ac{1}{x}\right),&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0, \end{array}\right.$

где

-- некоторый многочлен переменного $z=\dfrac{1}{x}$ . Легко видеть, что эта функция непрерывна при

Таким образом, мы получили важный пример функции, которая всюду имеет производные любого порядка, и при этом в точке 0 все эти производные равны 0, в то время как сама функция отлична от 0 при всех $x\ne0$ .

Упражнение 5.6 Рассмотрите функцию

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x}},&\mbox{ при }x>0;\\ 0,&\mbox{ при }x\leqslant 0. \end{array}\right.$

Покажите, что все её производные существуют при всех $x\in\mathbb{R}$ и непрерывны; при этом $f^{(n)}(0)=0$ для любого $n=0,1,2\dots$ .

Комплексные числа , Свойства дифференцируемых функций Примеры

Сравнение бесконечно больших величин