Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Комплексные числа , Свойства дифференцируемых функций Примеры Кривые и поверхности


Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

    Теорема 5.2 (Ролля)   Пусть функция $ f(x)$ дифференцируема на интервале $ (a;b)$, непрерывна в точках $ a$ и $ b$ и принимает в этих точках значение 0: $ f(a)=f(b)=0$. Тогда найдётся хотя бы одна точка $ x_0\in(a;b)$, в которой $ f'(x_0)=0$.
        Замечание 5.2   Это утверждение можно переформулировать так: между двумя корнями $ a$ и $ b$ дифференцируемой функции $ f(x)$ обязательно найдётся корень её производной $ f'(x)$ (то есть точка $ x_0\in(a;b)$, такая что $ f'(x_0)=0$). Условие $ f'(x_0)=0$ означает, что касательная, проведённая к графику $ y=f(x)$ при $ x=x_0$, расположена горизонтально.
Заметим также, что теорема Ролля не утверждает, что корень $ x_0$ -- единственный корень производной на интервале $ (a;b)$; на этом интервале может находиться несколько корней производной.     

Рис.5.4.Между двумя корнями дифференцируемой функции лежит хотя бы один корень её производной

        Доказательство теоремы Ролля.     Так как при наших предположениях функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$, то она принимает своё максимальное значение $ M$ и минимальное значение $ m$ в некоторых точках $ x_M$ и $ x_m$ этого отрезка.

Рассмотрим два случая. Если $ M=m$, то наибольшее и наименьшее значения функции совпадают, и, следовательно, функция постоянна на отрезке $ [a;b]$: $ f(x)=\mathrm{const}$. Значит, $ f'(x)=0$ при всех $ x\in(a;b)$, и в качестве $ x_0$ в этом случае можно взять любую точку $ x$ интервала $ (a;b)$.

Если же $ M>m$, то либо $ M$, либо $ m$ отлично от 0 и, следовательно, либо точка $ x_M$, либо точка $ x_m$ не совпадает с концами отрезка $ a$ и $ b$, то есть лежит внутри интервала $ (a;b)$. Пусть, для определённости, $ x_m$ -- внутренняя точка интервала. Тогда, по теореме Ферма, $ f'(x_m)=0$, поскольку по предположению доказываемой теоремы, $ f(x)$ имеет производную во всех точках интервала $ (a;b)$ и, следовательно, в точке $ x_m$. Итак, в этом случае точку $ x_m$ можно взять в качестве искомой точки $ x_0$: тогда $ f'(x_0)=0$.     

      

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"
Типовой расчет

  • Функции и их графики Непрерывность функций и точки разрыва
  • Производные и дифференциалы Пределы Матанализ
  • Формула Тейлора Матрицы, примеры выполнения заданий
  • Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
  • Функции и графики, нахождение корней уравнений
  • Векторная алгебра Прямые линии и плоскости
  • Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования
  • Комплексные числа , Свойства дифференцируемых функций

    •  

    ;