Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования Примеры

Системы линейных уравнений

Определение 15.1 Системой

линейных уравнений с

неизвестными называется система уравнений вида

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1,\... ...ots\ldots\ldots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_m.\end{array}\right.$

(15.1)

Система уравнений называется однородной, если ${b_1=b_2=\ldots=b_m=0}$ и неоднородной в противном случае.

Систему (15.1) можно записать также в виде

$\displaystyle a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\ldots+a_{in}x_n=b_i,\quad i=1,2,\dots,m,$

или в виде

$\displaystyle \sum_{j=1}^na_{ij}x_j=b_i,\quad i=1,2,\dots,m.$

Но наиболее удобной формой записи системы (15.1) является матричная запись. Введем следующие матрицы: матрица системы

, столбец неизвестных

и столбец свободных членов

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&... ...ht), \quad b=\left(\begin{array}{c}b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m\end{array}\right).$

Читатель, выполнив матричное умножение, легко проверит, что с помощью введенных обозначений систему (15.1) можно записать в виде

$\displaystyle Ax=b.$

(15.2)

Определение 15.2 Решением системы (15.1) называется любой набор чисел ${{\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_n}$ , которые при подстановке в систему вместо неизвестных ${x_1,\,x_2,\dots,x_n}$ превращают все уравнения системы в верные равенства.

Решением системы (15.2) называется столбец чисел $\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)$ , который после подстановки в уравнение вместо столбца превращает уравнение (15.2) в верное матричное равенство.

;