Формула Тейлора Матрицы, теоремы, упражнения примеры

Алгоритм нахождения ранга матрицы.

Пусть требуется вычислить ранг матрицы размеров $m\times n$ . Если матрица нулевая, то по определению ${{\rm Rg}A=0}$ . В противном случае с помощью перестановки строк и столбцов матрицы добиваемся того, чтобы в левом верхнем углу матрицы стоял ненулевой элемент. Итак, считаем, что ${a_{11}\ne0}$ .

Первую строку оставляем без изменений. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $\left(-\dfrac{a_{21}}{a_{11}}\right)$ . В результате вторая строка принимает вид

$\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}0&a_{22}^{(1)}&\dots&a_{2n}^{(1)}\end{array}\right).$

Затем к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на число $\left(-\dfrac{a_{31}}{a_{11}}\right)$ . В результате третья строка принимает вид

$\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}0&a_{32}^{(1)}&\dots&a_{3n}^{(1)}\end{array}\right).$

Процесс продолжаем до тех пор, пока не получим нуль на первом месте в последней строке.

Преобразованная матрица имеет вид

$\displaystyle A^{(1)}=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1... ...ots&\dots\\ 0&a_{m2}^{(1)}&a_{m3}^{(1)}&\dots&a_{mn}^{(1)}\end{array}\right).$

Если все строки, начиная со второй, в полученной матрице нулевые, то ее ранг равен 1, так как есть минор первого порядка, отличный от нуля $a_{11}$ . В противном случае перестановкой строк и столбцов матрицы с номерами, большими единицы, добиваемся, чтобы второй элемент второй строки был отличен от нуля. Итак, считаем, что ${a_{22}^{(1)}\ne0}$ .

Первую и вторую строки оставляем без изменений. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на число $\left(-\dfrac{a_{32}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}\right)$ . В результате получим, что второй элемент третьей строки равен нулю. Затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на число $\left(-\dfrac{a_{42}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}\right)$ , и т.д. В результате получаем матрицу

$\displaystyle A^{(2)}=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1... ...ts&\dots&\dots&\dots\\ 0&0&a_{m3}^{(2)}&\dots&a_{mn}^{(2)}\end{array}\right).$

Если все строки, начиная с третьей, нулевые, то ${{\rm Rg}A^{(2)}=2}$ , так как минор ${\left\vert\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\ 0&a_{22}^{(1)}\end{array}\right\vert=a_{11}a_{22}^{(1)}\ne0}$ . В противном случае перестановкой строк и столбцов с номерами, большими двух, добиваемся, чтобы третий элемент третьей строки был отличен от нуля. Далее, добавлением третьей строки, умноженной на соответствующие числа, к строкам с большими номерами получаем нули в третьем столбце, начиная с четвертого элемента, и т.д.

На каком-то этапе мы придем к матрице, у которой все строки, начиная с -ой , равны нулю (или отсутствуют при ${r=m\leqslant n}$ ), а минор в первых строках и первых столбцах является определителем треугольной матрицы с ненулевыми элементами на диагонали. Ранг такой матрицы равен . Следовательно, ${{\rm Rg}A=r}$ .

Замечание 14.15 В предложенном алгоритме нахождения ранга матрицы все вычисления должны производиться без округлений. Сколь угодно малое изменение хотя бы в одном из элементов промежуточных матриц может привести к тому, что полученный ответ будет отличаться от ранга исходной матрицы на несколько единиц.

Замечание 14.16 Если в исходной матрице элементы были целыми числами, то и вычисления удобно производить без использования дробей. Поэтому на каждом этапе целесообразно умножать строки на такие числа, чтобы при вычислениях дроби не возникали.

Пример 14.12 Найдите ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&-1&0\\ 3&1&4&-1\\ 5&9&-13.5&1\\ 3&5&-7&1\end{array}\right)$ .

Решение. Первую строку оставляем без изменений. Чтобы избежать появления дробей, умножим вторую, третью и четвертую строки на 2:

$\displaystyle A^{(1)}=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&-1&0\\ 6&2&8&-2\\ 10&18&-27&2\\ 6&10&-14&2\end{array}\right).$

Первую строку умножим на

и прибавим ко второй. Получим строку ${\left(\begin{array}{rrrr}0&-4&11&-2\end{array}\right)}$ . Первую строку умножим на

и прибавим к третьей. Получим строку ${\left(\begin{array}{rrrr}0&8&-22&2\end{array}\right)}$ . Первую строку умножим на

и прибавим к четвертой. Получим строку ${\left(\begin{array}{rrrr}0&4&-11&2\end{array}\right)}$ . В итоге имеем матрицу

$\displaystyle A^{(2)}=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&-1&0\\ 0&-4&11&-2\\ 0&8&-22&2\\ 0&4&-11&2\end{array}\right).$

Вторую строку оставляем без изменений. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на 2. Получим строку ${\left(\begin{array}{rrrr}0&0&0&-2\end{array}\right)}$ . К четвертой строке прибавляем вторую. Получим нулевую строку. Преобразованная матрица имеет вид

$\displaystyle A^{(3)}=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&-1&0\\ 0&-4&11&-2\\ 0&0&0&-2\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$

Поменяем местами третий и четвертый столбцы:

$\displaystyle A^{(4)}=\left(\begin{array}{rrrr}2&2&0&-1\\ 0&-4&-2&11\\ 0&0&-2&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$

Базисный минор матрицы $A^{(4)}$ стоит в первых трех столбцах и первых трех строках, ${{\rm Rg}A^{(4)}=3}$ . Следовательно, ${{\rm Rg}A=3}$ .

Замечание 14.17 В приведенном примере вычисления были бы проще, если сначала четвертый столбец сделать первым и четвертую строку сделать первой. Но для того, чтобы догадаться об этом, нужно анализировать вопросы делимости чисел, что достаточно сложно описать в алгоритме, пригодном для всех случаев.

диное, стандартное, обозначение ранга матрицы отсутствует. Следуя учебнику [1], мы будем обозначать его ${\rm Rg}A$ .

Формула Тейлора Матрицы, теоремы, упражнения

Ранг матрицы