Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Формула Тейлора Матрицы, теоремы, упражнения Матрицы

Определители

     Предложение 14.6   При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть $ {\vert A^\top\vert=\vert A\vert}$ .     

Предложение 14.7   Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть $ {\vert AB\vert=\vert A\vert\vert B\vert}$ .     

 Предложение 14.8   Если в матрице $ A$ поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.     

Ввиду ограниченности курса доказательства этих трех свойств мы опускаем. Читатель может найти их в учебниках по линейной алгебре [3], [5] или же может без особых сложностей проверить их на матрицах второго и третьего порядков.

        Предложение 14.9   Если матрица $ A$ имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

        Доказательство.     Поменяем местами две одинаковые строки. В силу предложения 14.8 определитель сменит знак. С другой стороны, так как строки были одинаковыми, то матрица не изменилась и, следовательно, не изменился и ее определитель. Получим, что $ {\vert A\vert=-\vert A\vert}$ , откуда следует, что $ {\vert A\vert=0}$ .     

В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками (столбцами) мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками (матрицами-столбцами), то есть поэлементно. Результатом будет служить строка (столбец), как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк (столбцов) и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк (столбцов), то есть суммах с числовыми коэффициентами.

        Предложение 14.10   Если строку матрицы умножить на число $ {\alpha}$ , то ее определитель умножится на это число.

        Доказательство.     Пусть $ A$ -- исходная матрица, $ B$  -- матрица, полученная из $ A$ умножением первой строки на число $ {\alpha}$ :

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}... ...n}\\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{array}\right).$

Тогда

$\displaystyle \vert B\vert=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}{\alpha}a_{1k}M_k,$

где $ M_k$ -- определитель матрицы, полученной из матрицы $ B$ или, что то же самое, из матрицы $ A$ вычеркиванием первой строки и $ k$ -ого столбца.

Вынесем множитель $ {\alpha}$ за знак суммы и получим

$\displaystyle \vert B\vert={\alpha}\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}a_{1k}M_k={\alpha}\vert A\vert.$

Пусть теперь матрица $ B$ получается из матрицы $ A$ умножением $ j$ -ой строки на число $ {\alpha}$ . Поменяем местами первую и $ j$ -ую строки в матрице $ A$ и то же самое проделаем в матрице $ B$ . Получим две новых матрицы $ A_1$ и $ B_1$ . По предложению 14.8

$\displaystyle \vert A\vert=-\vert A_1\vert,\quad \vert B\vert=-\vert B_1\vert.$ (14.10)
 


Очевидно, что матрица $ B_1$ получается из матрицы $ A_1$ умножением первой строки на число $ {\alpha}$ . Как только что было доказано, $ {\vert B_1\vert={\alpha}\vert A_1\vert}$ . Таким образом, из второго равенства (14.10) находим $ {\vert B\vert=-{\alpha}\vert A_1\vert}$ , отсюда с помощью первого равенства (14.10) получаем $ {\vert B\vert={\alpha}\vert A\vert}$ .     

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"
Типовой расчет

  • Функции и их графики Непрерывность функций и точки разрыва
  • Производные и дифференциалы Пределы Матанализ
  • Формула Тейлора Матрицы, примеры выполнения заданий
  • Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
  • Функции и графики, нахождение корней уравнений
  • Векторная алгебра Прямые линии и плоскости
  • Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования
  • Комплексные числа , Свойства дифференцируемых функций

    •  

    ;