Пределы Матанализ Производные и дифференциалы Примеры

  Пример 4.6 Найдём производную функции $y=\cos^52x$ . Здесь функция имеет вид , с промежуточным аргументом $u=\cos2x$ , который, в свою очередь, является сложной функцией. Поэтому
$\begin{multline*} y'=5u^4u'_x=5(\cos2x)^4(\cos2x)'_x=5\cos^42x(-\sin2x)(2x)'=\\ =-5\cos^42x\sin2x\cdot2=-10\cos^42x\sin2x. \end{multline*}$


        Пример 4.7 Найдём производные ареа-функций (напомним, что ареа-функции -- это функции, обратные к гиперболическим функциям). Ранее мы записали для них следующие формулы:

$\displaystyle \mathop{\rm arsh}\nolimits x=\ln(x+\sqrt{x^2+1});$

$\displaystyle \mathop{\rm arch}\nolimits x=\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})$

(в зависимости от того, что считать главной ветвью функции $\mathop{\rm ch}\nolimits$ );

$\displaystyle \mathop{\rm arth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-x};$

$\displaystyle \mathop{\rm arcth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x-1}.$

Поэтому
$\begin{multline*} (\mathop{\rm arsh}\nolimits x)'=(\ln(x+\sqrt{x^2+1}))'= \dfr... ...1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}= \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \end{multline*}$

и аналогично:
$\begin{multline*} (\mathop{\rm arch}\nolimits x)'=(\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})'= \df... ...{\sqrt{x^2-1}}}{x\pm\sqrt{x^2-1}}= \pm\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}; \end{multline*}$

$\begin{multline*} (\mathop{\rm arth}\nolimits x)'=(\frac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-... ...dfrac{\dfrac{2}{(1-x)^2}}{\dfrac{1+x}{1-x}}= \dfrac{1}{1-x^2}; \end{multline*}$

и аналогично:
$\begin{multline*} (\mathop{\rm arcth}\nolimits x)'=(\frac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x... ...frac{\dfrac{-2}{(x-1)^2}}{\dfrac{x+1}{x-1}}= \dfrac{1}{1-x^2}. \end{multline*}$

Последние две формулы не противоречат друг другу, так как при $x\in(-1;1)$ , а $(\mathop{\rm arcth}\nolimits x)'=\dfrac{1}{1-x^2}$ при $x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$ .
$(\mathop{\rm arth}\nolimits x)'=\dfrac{1}{1-x^2}$
        Упражнение 4.1 Пусть -- чётная функция, имеющая производную . Докажите, что тогда является нечётной функцией. Наоборот, если -- нечётная функция, докажите, что -- чётная функция.
При этом воспользуйтесь тем, что для чётной функции , а для нечётной функции , и примените правило нахождения производной композиции, с промежуточным аргументом .

$\displaystyle \mathop{\rm arsh}\nolimits x=\ln(x+\sqrt{x^2+1});$
$\displaystyle \mathop{\rm arch}\nolimits x=\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})$
(в зависимости от того, что считать главной ветвью функции $\mathop{\rm ch}\nolimits$ );
$\displaystyle \mathop{\rm arth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-x};$
$\displaystyle \mathop{\rm arcth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x-1}.$

Пределы Матанализ Производные и дифференциалы

Производная композиции