Векторная алгебра Прямые линии и плоскости Примеры

Разложение вектора по базису

Рассмотрим пример на нахождение координат вектора.

Задача. Даны векторы ${\overrightarrow {OA}={\bf a}}$ , ${\overrightarrow {OB}={\bf b}}$ . Вектор ${\overrightarrow {OC}={\bf c}}$ -- медиана треугольника . Найдите координаты вектора a в базисе b, c.

Решение. Сначала рассмотрим геометрическое решение (рис. 10.13).

Рис.10.13.Геометрическое разложение вектора

Проведем через конец вектора a прямую параллельно вектору b до пересечения с продолжением вектора c. Получим точку пересечения . Легко видеть, что ${\overrightarrow {OD}=2{\bf c}}$ , ${\overrightarrow {AD}={\bf b}}$ . Проведем через точку прямую параллельно вектору c до пересечения с продолжением вектора b. Получим точку . Очевидно, что ${\vert OF\vert=\vert AD\vert}$ , то есть ${\overrightarrow {OF}=-{\bf b}}$ . Таким образом, ${\bf a}=\overrightarrow {OD}+\overrightarrow {OF}=2{\bf c}+(-{\bf b})=(-1){\bf b}+2{\bf c}$ . Получим ${{\bf a}=(-1;2)}$ .

Аналитическое решение. Получим какое-нибудь уравнение, связывающее векторы a, b, c. Для этого достроим треугольник до параллелограмма (рис. 10.14).

Рис.10.14.

Тогда $\overrightarrow {OD}=2{\bf c}$ , $\overrightarrow {OD}={\bf a}+{\bf b}$ . Получим равенство ${2{\bf c}={\bf a}+{\bf b}}$ . Откуда ${{\bf a}=-{\bf b}+2{\bf c}}$ , то есть ${{\bf a}=(-1;2)}$ .
Ответ: ${\bf a}=(-1;2)$

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"
Типовой расчет

Функции и их графики Непрерывность функций и точки разрыва

Производные и дифференциалы Пределы Матанализ

Формула Тейлора Матрицы, примеры выполнения заданий

Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Функции и графики, нахождение корней уравнений

Векторная алгебра Прямые линии и плоскости

Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования

Комплексные числа , Свойства дифференцируемых функций

;