Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования Высшая математика в примерах

Гиперболоиды


Определение   Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид$\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$

где $ a$ , $ b$ , $ c$  -- положительные числа.         

Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$

Координаты ни одной точки плоскости $ xOy$ не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle -\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$

Это уравнение гиперболы на плоскости $ yOz$ , где действительная полуось равна $ c$ , а мнимая полуось равна $ b$ . Построим эту гиперболу (рис. 13.12).




Рис.13.12.Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью $ yOz$


Сечение плоскостью $ xOz$ также является гиперболой, с уравнением

$\displaystyle -\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью $ yOz$ (рис. 13.13).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями $ {z=\pm h}$ , $ h>0$ . Уравнения этих линий

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{h^2}{c^2}-1,\\ z=\pm h. \end{array}\right.$

Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если $ {\vert h\vert<c}$ . Если $ {h=c}$ или $ {h=-c}$ , то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку $ (0;0;c)$ или $ (0;0;-c)$ . Эти точки называются вершинами гиперболоида.

Пусть $ \vert h\vert>c$ . Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2\left(\frac{h^2}{c^2}-1\right)}+ \frac{y^2}{b^2\left(\frac{h^2}{c^2}-1\right)}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$ (13.9)


где $ a_1=a\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1}$ , $ b_1=b\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1}$ . Уравнение (13.9) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости $ xOy$ , с коэффициентом подобия $ \sqrt{\frac {h^2}{c^2}-1}$ и полуосями $ a_1$ и $ b_1$ . Нарисуем полученные сечения (рис. 13.13).

Рис.13.13.Изображение двуполостного гиперболоида с помощью сечений


Привычное для глаза изображение двуполостного гиперболоида приведено на рисунке 13.14.


Рис.13.14.Двуполостный гиперболоид


Если в уравнении (13.8) $ {a=b}$ , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости $ xOy$ , являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости $ yOz$ , вокруг оси $ Oz$ (рис 4.15).

Рис.13.15.Двуполостный гиперболоид вращения

 

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"
Типовой расчет

  • Функции и их графики Непрерывность функций и точки разрыва
  • Производные и дифференциалы Пределы Матанализ
  • Формула Тейлора Матрицы, примеры выполнения заданий
  • Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
  • Функции и графики, нахождение корней уравнений
  • Векторная алгебра Прямые линии и плоскости
  • Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования
  • Комплексные числа , Свойства дифференцируемых функций

    •  

    ;