Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования Высшая математика в примерах

Параллельный перенос системы координат

  Пример 12.7   Нарисуйте кривую $ {x^2+9y^2-4x+18y+4=0}$ и найдите ее фокусы.
Решение. Выделим полные квадраты по переменным $ x$ и $ y$ (см. пример 12.1):
Введение в цифровую электронику
$\displaystyle (x^2-4x+4)-4+9(y^2+2y+1)-9+4=0.$
Откуда
$\displaystyle (x-2)^2+9(y+1)^2=9.$
Разделим обе части на 9:
$\displaystyle \frac{(x-2)^2}{3^2}+\frac{(y+1)^2}{1^2}=1.$
Введем новую систему координат с началом в точке $ O_1(2;-1)$ , получающуюся из старой параллельным переносом. По предложению 12.7 получим, что кривая задается уравнением
$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{3^2}+\frac{\tilde y^2}{1^2}=1,$
а это -- каноническое уравнение эллипса с полуосями 3 и 1. Сделаем рисунок (рис. 12.20).



Рис.12.20.Эллипс, заданный уравнением $ {x^2+9y^2-4x+18y+4=0}$


Из формулы (12.5) $ c=\sqrt{9-1}=2\sqrt2$ . Поэтому фокусы в новой системе координат имеют координаты $ {\tilde x=\pm2\sqrt2}$ , $ {\tilde y=0}$ . Используя формулы (12.11), находим старые координаты фокусов $ {x=2\pm2\sqrt2}$ , $ {y=-1}$ . Таким образом, фокусами являются точки $ F_1(2-2\sqrt2; -1)$ , $ F_2(2+2\sqrt2;-1)$ .         
        Пример 12.8   Постройте параболу
$\displaystyle y=\frac{6x-x^2-13}2,$
найдите ее фокус и директрису.
Решение. Преобразуем уравнение к виду $ 2y+x^2-6x+13=0$ и выделим полный квадрат по переменному $ x$ :
$\displaystyle 2y+(x^2-6x+9)-9+13=0.$
Из этого уравнения получим $ (x-3)^2=-2(y+2)$ . Произведем параллельный перенос осей координат: $ {\tilde x=x-3}$ , $ {\tilde y=y-(-2)}$ , новое начало координат -- $ O_1(3;-2)$ . В новых координатах уравнение параболы примет вид $ {\tilde x^2=-2\tilde y}$ , которое тоже не является каноническим. Но если мы изменим направление оси ординат и переобозначим оси: $ {x'=-\tilde y}$ , $ {y'=\tilde x}$ , то получим уравнение $ {(y')^2=2x'}$ . Это уравнение -- каноническое, $ {2p=2}$ , $ {p=1}$ . Строим оси и параболу (рис. 12.21).


Рис.12.21.Парабола, заданная уравнением $ y=\frac{6x-x^2-13}2$


В системе координат $ x'O_1y'$ фокус имеет координаты $ (0.5;0)$ , а директриса задается уравнением $ {x'=-0.5}$ . В системе координат $ {\tilde xO_1\tilde y}$ координаты фокуса -- $ (0;-0.5)$ , а уравнение директрисы $ {\tilde y=0.5}$ . Наконец, в исходной системе координат $ xOy$ получим фокус $ F(3;-2.5)$ и уравнение директрисы $ {y=-1.5}$ , что и служит ответом к задаче.         
      

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"
Типовой расчет

  • Функции и их графики Непрерывность функций и точки разрыва
  • Производные и дифференциалы Пределы Матанализ
  • Формула Тейлора Матрицы, примеры выполнения заданий
  • Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
  • Функции и графики, нахождение корней уравнений
  • Векторная алгебра Прямые линии и плоскости
  • Кривые и поверхности, Линейные пространства и преобразования
  • Комплексные числа , Свойства дифференцируемых функций

    •  

    ;